答え1
Googleは現在、GMailやカレンダーを含むほとんどのGoogleサービスからデータをエクスポートする「公式」な方法を提供しています。
https://www.google.com/settings/takeout
必要なもの（アカウント全体または特定のラベル）を選択して、mbox 形式でエクスポートするだけです。
答え2
現在、mbox 形式についてはあまり詳しくありませんが、次の手順に従うと、Mail.app や Microsoft Exchange などのローカル クライアントにメッセージをダウンロードできます。
次に、ダウンロードしたいすべてのメールに共通のラベルを付けます。つまり、GMail で特定の検索を行い、すべて選択ボックスをチェックしてすべてのメッセージを選択します。メッセージが 1 ページ以上ある場合、GMail は次のように通知します: 「このページの 20 件の会話がすべて選択されています。検索結果の 900 件の会話をすべて選択してください」。
すべてのメッセージをクリックして選択し、ラベルを適用します。その後、http://lifehacker.com/5521065/gmail アカウントから別のアカウントにメールを移行する方法 メッセージの個別のフォルダー (ラベル) をコンピューターにダウンロードします。
以前、特定の GMail フォルダ (ラベル) をコンピュータにダウンロードするためにこれを使用しましたが、その方法についてはこのページで詳しく説明されています。
この方法を使用すると、GMail フィルターを作成して新しいアイテムに自動的にラベルを付け、ローカルの電子メール ソフトウェアでそのフォルダーを同期しておくことで、実際にこの検索の同期バックアップを保持して、新しいアイテムが届いたときにそれを保存できる可能性があります。
答え3
使用できますメッセージ抽出GMail からメール メッセージをダウンロードし、mbox 形式で保存します。メッセージをエクスポートするフォルダーまたはラベルを選択するだけです。
(免責事項、私はMsgExtractの著者です)