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さまざまな方法を用いた、小さな数字を使った真剣な科学的計算

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さまざまな方法を用いた、小さな数字を使った真剣な科学的計算

pgfmath モジュールの問題に行き詰まってしまいました。次の関数の値を計算しようとすると、出力される結果は常にゼロになります。問題は pgfmath の共域のアンダーフローで、数学エンジンが小さな値を切り捨てているのではないかと思います。

これは私が導入部で説明しようとしていたことの最小限の例です。

\documentclass[tikz]{standalone}
\usepackage[fleqn]{amsmath}
% physical constants:
\pgfmathdeclarefunction{m0}{0}{%
    \pgfmathparse{4*pi*1e-7}%
}

\pgfmathdeclarefunction{K}{0}{%
    \pgfmathparse{m0*pi/4}%
}
\pgfmathdeclarefunction{c1}{0}{% c1 = K/1.45
    \pgfmathparse{K/1.45}%
}
\pgfmathdeclarefunction{c2}{1}{% c2(gamma) = c1/gamma^2
    \pgfmathparse{c1/(#1)^2}%
}
\pgfmathdeclarefunction{c3}{2}{% c3(gamma,lambda)
    \pgfmathparse{K/((#1)*((#2)+0.45))}%
}
\pgfmathdeclarefunction{DL_rel}{2}{% DL_rel(lambda, gamma)
    \pgfmathparse{(2*sqrt((580*#1+261)*#2^3)+40*#1+18)/(29*#2^3-20*#1-9)}%
}

% the problematic pgfmath-function
\pgfmathdeclarefunction{N1}{5}{% N1(soluition, Lmin, gamma, lambda, d1)
    \pgfmathsetmacro\numa{(DL_rel(#4,#3)*#2)/2+#2}%
    \pgfmathsetmacro\numb{sqrt(\numa^2-c1*c3(#3,#4))/(4*c2(#3)^2)}%
    \pgfmathsetmacro\denom{2*c1*#5}%
    \pgfmathparse{(#1 -1) ?%
        (sqrt((\numa + \numb)/\denom))%
        :%
        (sqrt((\numa - \numb)/\denom))%
    }%
}

\begin{document}
    This is the equation im trying to solve:
    \begin{equation} \label{eq:N1}
    N_{1_{1,2}} =\sqrt{
        \frac{\frac{\Delta L}{2} +L_{min} \pm \sqrt{\left(\frac{\Delta L}{2} + L_{min}\right)^2 - \frac{c_1 c_3}{4\cdot c_2^2}\cdot \Delta L^2}}
        {2\cdot c_1 d_1}
    }
    \end{equation}
    This should print out its solution:
    \begin{equation*}
    N_{1_{1,2}} =
    \left\{ \begin{array}{l}
    \pgfmathparse{N1(1, 4e-4, 1.2, 0.466, 0.115)}\pgfmathresult\\
    \pgfmathparse{N1(2, 4e-4, 1.2, 0.466, 0.115)}\pgfmathresult
    \end{array}\right.
    \end{equation*}
\end{document}

ここに画像の説明を入力してください

ここまでたどり着くまでにすでにかなり長い時間がかかりました。ここで止めて、すべての計算を別のアプリケーションで行うのは、私にとって非常にイライラするでしょう。

もしかしたら、どこかに私の問題の解決策を持っている人がいるかもしれません。

とにかく、この投稿を使って感謝の気持ちを伝えたいと思います。ここは今のところ Latex を学ぶのに素晴らしい場所でした。皆さん、よくやってくれました!

答え1

数値不安定性を再度主張する更新

ここに画像の説明を入力してください

以下は、元の OP の値である、およびを使用したログ出力からのものです。、では同様ですが異なる結果gamma=1.2がlambda=0.466見られます。Lmin=4e-6gamma=1.2lambda=0.44

4: -1.00000e-13
5: 0
6: 0
7: 0
8: 0
9: 0
10: 2.00000e-19
11: 1.00000e-20
12: 2.00000e-21
13: 1.00000e-22
14: 1.00000e-23
15: 1.00000e-24
16: 0
17: 0
18: 0
19: 0
20: 1.00000e-29
21: 1.00000e-30
22: 0
23: 0
24: 1.00000e-33
25: 1.00000e-34
26: 0
27: 2.00000e-36
28: 0
29: 0
30: 0
31: -1.00000e-40
32: 2.00000e-41
33: 0
34: 2.00000e-43
35: 0
36: 1.00000e-45
37: 1.00000e-46
38: 0
39: -1.00000e-48
40: 0
41: 0
42: -1.00000e-51
43: 1.00000e-52
44: 1.00000e-53
45: 1.00000e-54
46: 0
47: 1.00000e-56
48: 1.00000e-57
49: 0
50: 1.00000e-59
51: 2.00000e-60
52: 0
53: 0
54: 2.00000e-63
55: 1.00000e-64
56: 2.00000e-65
57: 0
58: 0
59: 1.00000e-68
60: 1.00000e-69
61: 0
62: -1.00000e-71
63: 0
64: -1.00000e-73
65: 0
66: 0
67: 1.00000e-76
68: 0
69: 0
70: -1.00000e-79
71: 1.00000e-80
72: 0
73: 0
74: 0
75: 0
76: 0
77: 0
78: -1.00000e-87
79: 1.00000e-88
80: 1.00000e-89
81: 1.00000e-90
82: 1.00000e-91
83: 1.00000e-92
84: 1.00000e-93
85: 0
86: 0
87: 0
88: 1.00000e-97
89: 1.00000e-98
90: 1.00000e-99
91: 0
92: 1.00000e-101

注:の計算をスキップするために、定数Kを値に設定しました。これにより、丸め浮動小数点演算がまったく同じではないため、ここでの結果が変わります。1Pi

上記を生成するためのソースコード。

\documentclass{article}
\usepackage{xintexpr}% tested with 1.2e release
%\xintverbosetrue

\usepackage[fleqn]{amsmath}

\begin{document}
This is the equation im trying to solve:
\begin{equation} \label{eq:N1}
    N_{1_{1,2}} =\sqrt{
      \frac{\frac{\Delta L}{2} +L_{min} \pm \sqrt{\left(\frac{\Delta L}{2} + L_{min}\right)^2 - \frac{c_1 c_3}{4\cdot c_2^2}\cdot \Delta L^2}}
           {2\cdot c_1 d_1}
    }
\end{equation}

The $\Delta L/L_{min}$, $c_1$, $c_2$, $c_3$ are functions of some parameters
($L_{min}$ is only an overall scaling) and these functions are set-up in such
a way that actually the square root at the numerator of the fraction vanishes
exactly, independently of the values of the parameters. Numerically though it
may be found non zero and this will then induce a catastrophic drop in
precision in the final result. And it may even happen that it will be found
negative, thus potentially raising an error in the complete evaluation.

See the compilation log for this problematic $\left(\frac{\Delta L}{2} +
  L_{min}\right)^2 - \frac{c_1 c_3}{4\cdot c_2^2}\cdot \Delta L^2$ evaluated
with the float precision set to various values. You will see it turns negative
at times.        

% \xintdeffloatvar pi:= 
% 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342;

\xintFor* #1 in {\xintSeq{4}{92}}\do
{
\xintDigits := #1;

% constants
% \xintdeffloatvar m0:= 4pi*1e-7;
% \xintdeffloatvar K := m0*pi/4;
\xintdeffloatvar K := 1;
\xintdeffloatvar c1:= K/1.45;


% functions
\xintdeffloatfunc c2(u)  := c1/u^2;
\xintdeffloatfunc c3(u,v):= K/(u(v+0.45));

% attention arguments like in OP-update, permuted compared to the OP-original
\xintdeffloatfunc DL_rel(u,v):= (2sqrt((580v+261)u^3)+40v+18)/(29u^3-20v-9);

\xintdeffloatfunc DL(t,u,v)  := DL_rel(u,v)*t;

% Notice that t=Lmin acts only as an overall scaling factor.
\xintdeffloatfunc numbsquared(t,u,v):=
                  subs((Z/2+t)^2-c1*c3(u,v)/(4*c2(u)^2)*Z^2, Z=DL(t,u,v));

\typeout{#1: \xintthefloatexpr [6] numbsquared (4e-6, 1.2, 0.466)\relax }

}

\end{document}

Maple でもテストしました。ここでもKに設定します1。

numbsquared := proc (N)
local m0, K, c1, c2, c3, DL_rel, DL, localnumbsquared;
Digits:=N;
# m0 := 4*Pi*1e-7;
# K  :=  m0*Pi/4;
K  := 1;
c1 := K/1.45;
c2 := u->c1/u^2;
c3 := (u,v)->K/(u*(v+0.45));
DL_rel := (u,v)->(2*sqrt((580*v+261)*u^3)+40*v+18)/(29*u^3-20*v-9);
DL := (t,u,v)->DL_rel(u,v)*t;
localnumbsquared := (t,u,v)->subs(Z=DL(t,u,v),(Z/2+t)^2-c1*c3(u,v)/(4*c2(u)^2)*Z^2);
return localnumbsquared(4e-6, 1.2, 0.466)
end proc:
for N from 4 to 92 do printf("%2d, %e\n", N, numbsquared(N)) end do;

結果は同じタイプですが、偶然の一致と相違点の両方があります。

 4, 0.000000e+00
 5, 0.000000e+00
 6, 0.000000e+00
 7, 0.000000e+00
 8, 0.000000e+00
 9, 1.000000e-18
10, 2.000000e-19
11, 1.000000e-20
12, -1.000000e-21
13, 1.000000e-22
14, -1.000000e-23
15, 1.000000e-24
16, 0.000000e+00
17, 0.000000e+00
18, 0.000000e+00
19, 0.000000e+00
20, 1.000000e-29
21, 1.000000e-30
22, 0.000000e+00
23, 1.000000e-32
24, -1.000000e-33
25, 1.000000e-34
26, 0.000000e+00
27, 2.000000e-36
28, 1.000000e-37
29, 0.000000e+00
30, 0.000000e+00
31, -1.000000e-40
32, 2.000000e-41
33, 0.000000e+00
34, 2.000000e-43
35, -1.000000e-44
36, 1.000000e-45
37, 1.000000e-46
38, 0.000000e+00
39, -1.000000e-48
40, 0.000000e+00
41, 0.000000e+00
42, -1.000000e-51
43, 1.000000e-52
44, -1.000000e-53
45, 1.000000e-54
46, 0.000000e+00
47, -1.000000e-56
48, 1.000000e-57
49, 0.000000e+00
50, 1.000000e-59
51, 0.000000e+00
52, 0.000000e+00
53, 0.000000e+00
54, 2.000000e-63
55, 1.000000e-64
56, 0.000000e+00
57, 0.000000e+00
58, 0.000000e+00
59, 1.000000e-68
60, 1.000000e-69
61, 0.000000e+00
62, -1.000000e-71
63, 0.000000e+00
64, -1.000000e-73
65, 0.000000e+00
66, 0.000000e+00
67, 1.000000e-76
68, -2.000000e-77
69, -1.000000e-78
70, -1.000000e-79
71, 1.000000e-80
72, 0.000000e+00
73, 0.000000e+00
74, 0.000000e+00
75, 0.000000e+00
76, 0.000000e+00
77, 0.000000e+00
78, 0.000000e+00
79, 1.000000e-88
80, -1.000000e-89
81, -1.000000e-90
82, 1.000000e-91
83, 0.000000e+00
84, -1.000000e-93
85, 0.000000e+00
86, 0.000000e+00
87, 0.000000e+00
88, -1.000000e-97
89, -2.000000e-98
90, 1.000000e-99
91, -2.000000e-100
92, 1.000000e-101

興味深い数値の好奇心/不安定性についてコメントを更新

OP の最初のバージョンでは を要求しましたがN1(1, 4e-6, 1.2, 0.466, 0.115)、これは以下で扱われます。\numbその場合の は明らかにゼロであることがわかります。ただし、浮動小数点の精度に応じて、ゼロになるか、ゼロにならない場合があります。 は最終結果の精度\numaのみに関するものであり、1e-5小さいながらもゼロではない によって大幅に削減される可能性があります\numb。

xintと比較し、 、桁精度mapleで同様の結果（最後の桁のみ異なる）を得ました（Maple を使用するには時間がかかるので、さらにテストを進めています）。 については、小数から始めて、最初に を掛けて指定された に減らすことでテストを行いました。そこで、以下のコードを次のように実行しました。162024Pixint941.0\xintDigits

\xintDigits := 16; % or 20, 24, 28, ... 
\xintdeffloatvar pi:= 1.*3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342;

Maple 側では、Pi最後の まで は記号として扱われますevalf。

xint浮動小数点の精度が高くなるにつれて、結果は次のようになります。

8.038962683509860
8.0389626847662074875
8.03896268352242165100730
8.038962683509858157707745289
8.0389626835098594140570752438847
8.03896268350985817027123858823346261
8.038962683509858157707745288681429203705
8.0389626835098581577090016380113844070447859
8.03896268350985815770775785217472875573691848736

（これは の解です）。数字\numa+\numbを含む結果が16ずっといい数字のあるものよりも20!!!!!!!そしてそれはかなり良くなったdigitsのものよりも24優れています! (ただし、digits ほど良くはありません)。これは、digits では xint と maple の両方が0 になる28のに対し、digitsではについてとなり、合計に大きな誤差が生じ、について となるためです。16\numb3e-1520\numa1e-5

92精度の桁で、数値的\numbには約 が見つかります3e-51。正確な値がゼロの場合、約 以降の結果の桁が台無しになることを意味します46...

92桁違いの精度で、Maple\numbは

> evalf(Q(4e-6, 1.2, 0.466, 0.115)); 
0.3162277660168379331998893544432718533719555139325216826857504852792594438\

                          -50
    6392382213442481084 10

そしてxint、

3.1622776601683793319988935444327185337195551393252168268575048527925944386392382213442481084e-51 最後まで一致していることがわかります。;-)

アップデート私はなんて馬鹿なんだろう！ の平方根に気づくまでに何年かかるだろうか10？？？ 上記は本質的には の平方根であることに気付くだろう1e-101... 理由は、\numb差の平方根であるという単純なことのようで、どういうわけかこの差はゼロではなく、1e-101各項の最後の 92 番目の桁の丸め誤差によるものであることが判明し、これはおそらく のオーダーである1e-10!!! はい、これはすべてのレベルの浮動小数点精度について説明できるはずですN。 差がゼロになることもあれば、 になることもあると思います1e-(9+N)。 たとえば、 ではN=20の差が予想される1e-29ため、3e-15平方根の約 はその通り-1e-(9+N)観察されるもの。奇妙なことに、数値は平方根の誤差が生じるような 差を決して与えないようです。

返される値は精度が増すにつれて減少するので、正確な値はゼロであると信頼できるかもしれません (代数は計算していません)。正確な値が本当にゼロである場合、上記の値をゼロに加算または減算すると、0.000010117182975...約 46 桁の有効桁の後で破損し、それを取得する 92 桁の浮動小数点評価が破壊されます...

非常に驚くべき ！ （しかし、上記の引用ブロックを読んでください）

他の数学エンジンと比較する場合、減算で致命的なキャンセルが発生する可能性があるため、数式は数値的に不安定になる点に留意する必要があります。

元の回答

ここでは、別の数学エンジンを使用するアプローチを示します。平方根しか認識しませんが、ここではこれで十分です。指定された例では、 が\numb正確にゼロになることに注意してください。

\documentclass[tikz]{standalone}
\usepackage{xintexpr}% tested with 1.2e release
\usepackage[fleqn]{amsmath}

% constants
\xintdeffloatvar pi:= 3.14159265358979323846;
\xintdeffloatvar m0:= 4pi*1e-7;
\xintdeffloatvar K := m0*pi/4;
\xintdeffloatvar c1:= K/1.45;

% functions
\xintdeffloatfunc c2(x)  := c1/x^2;

\xintdeffloatfunc c3(x,y):= K/(x(y+0.45));

\xintdeffloatfunc DL_rel(u,v):= 
    (2*sqrt((580*u+261)*v^3)+40*u+18)/(29*v^3-20*u-9);

% This is allowed by xint parser also (tacit multiplications):
% \xintdeffloatfunc DL_rel(u,v):= (2sqrt((580u+261)v^3)+40u+18)/(29v^3-20u-9);

% Of course we could simplify here by defining more intermediate functions.
% We could define "numa" and "numb" functions, and set them up as functions
% of an already computed "DL_rel" which serves in both.
% It is possible to use the "subs(expression, x=...)" syntax.
% Limitation is that the dummy parameter must be a single letter.
% Also, the inner-most subs will have the last defined thing, and the
% outer-most subs the first defined thing.
\xintdeffloatfunc N1(a,t,u,v,w):=
    subs(subs(subs(subs(
    if(a=1, sqrt((P+Q)/D), sqrt((P-Q)/D)),
% debugging because something is strange with Q = \numb which is zero
% (P, sqrt(c1*c3(u,v))/c2(u)*X ), 
% well after all it was CORRECT that Q was zero with these numerics
       Q = sqrt(P^2-c1*c3(u,v)/(c2(u)^2)*X^2)% =\numb,
                       ),
       P = X+t % P=\numa, and I think t is Lmin
                  ),
       X = DL_rel(v,u)*t/2 % X= DeltaL/2
              ),    
       D = 2c1*w % D=\denom
         )% must use single letters in subs
    ;%


\begin{document}
This is the equation im trying to solve:
\begin{equation} \label{eq:N1}
    N_{1_{1,2}} =\sqrt{
      \frac{\frac{\Delta L}{2} +L_{min} \pm \sqrt{\left(\frac{\Delta L}{2} + L_{min}\right)^2 - \frac{c_1 c_3}{4\cdot c_2^2}\cdot \Delta L^2}}
           {2\cdot c_1 d_1}
    }
\end{equation}

This should print out its solution:
\begin{equation*}
 N_{1_{1,2}} =
  \left\{ \begin{array}{l}
            \xintthefloatexpr N1(1, 4e-6, 1.2, 0.466, 0.115)\relax\\
            \xintthefloatexpr N1(2, 4e-6, 1.2, 0.466, 0.115)\relax
          \end{array}\right.
\end{equation*}
\end{document}

この例では、2 つの解は同じです\numb。

引用ブロック

解が拡張的に計算されていることに注意してください。これは一部の人々（愚か者など）にとって重要です。

より精度を高めたい場合は、次のことから始めてください。

\xintDigits := 32;
\xintdeffloatvar pi:= 3.141592653589793238462643383279503;

答え2

ルートを試してlualatex、 の数式のすべての精度を得ることもできます。luaしたがって、まったくそうではありませんpgf。次の式は間違った答えを示している可能性がありますが、これは の数学的機能によるものではなくlua、必要な式を単に急いで翻訳しただけである可能性が高いです。

\documentclass[preview,border=5]{standalone}
\usepackage[fleqn]{amsmath}
\usepackage{luacode}
\begin{luacode*}
pi = math.pi
sqrt = math.sqrt
m0 = 4 * pi * 1e-7
K = m0 * pi / 4
c1 = K / 1.45
c2 = function (x) return c1 / (x^2); end 
c3 = function (x, y) return K / (x * (y + 0.45)); end
DLrel = function (x, y) 
  return (2 * sqrt((580 * x + 261) * y^3) + 40 * x + 18) /
    (29 * y^3 - 20 * x - 9)
end
N1 = function (s, Lmin, g, l, d1) 
  dL = DLrel(l, g) * Lmin
  nm = dL / 2 + Lmin
  rt = (nm^2 - c1 * c3(g, l) * 0.25 * c2(g)^-2 * dL^2)
  dn = 2 * c1 * d1
  s = -(s % 2) * 2 + 1
  return sqrt((nm + s * sqrt(rt)) / dn) 
end
\end{luacode*}
\def\luaprint#1{\directlua{tex.print(#1)}}
\begin{document}
\begin{equation*}
  N_{1_{1,2}} = \left\{ 
\begin{array}{l}
  \luaprint{N1(1, 4e-4, 1.2, 0.44, 0.115)}
\\    
  \luaprint{N1(2, 4e-4, 1.2, 0.44, 0.115)}
\end{array}\right.
\end{equation*}
\end{document}

ここに画像の説明を入力してください

答え3

アップデート 1: pgfmath + fpu

今日は少しいじってみましたXINTが、数学関数が不足していたため、元のpgfmathアプローチに戻りました。あとで埋め込む必要がある数式がいくつかあり、三角関数などが必要ですが、私が見る限り、xint にはそれらの実装はありません。\usetikzlibrary{fpu}精度を上げるための Marks のヒントを参考にして、少し調整した後、ようやく動作するようになりました。

これまでの私のコードは次のとおりです:

\documentclass[tikz]{standalone}
\usepackage[fleqn]{amsmath}
\usetikzlibrary{fpu}

% physical constants:
\pgfmathdeclarefunction{m0}{0}{%
    \pgfmathparse{4*pi*1e-7}%
}

\pgfmathdeclarefunction{K}{0}{%
    \pgfmathparse{m0*pi/4}%
}
\pgfmathdeclarefunction{c1}{0}{% c1 = K/1.45
    \pgfmathparse{K/1.45}%
}
\pgfmathdeclarefunction{c2}{1}{% c2(gamma) = c1/gamma^2
    \pgfmathparse{c1/(#1)^2}%
}
\pgfmathdeclarefunction{c3}{2}{% c3(gamma,lambda)
    \pgfmathparse{K/((#1)*((#2)+0.45))}%
}
\pgfmathdeclarefunction{DL_rel}{2}{% DL_rel(gamma, lambda)
    \pgfmathparse{(2*sqrt((580*#2+261)*#1^3)+40*#2+18)/(29*#1^3-20*#2-9)}%
}

% the problematic pgfmath-function
%                                   #1         #2    #3     #4      #5
\pgfmathdeclarefunction{N1}{5}{% N1(soluition, Lmin, gamma, lambda, d1)
    \pgfmathsetmacro\DL{(DL_rel(#3,#4)*#2)}%
    \pgfmathsetmacro\numa{\DL/2+#2}%
    \pgfmathsetmacro\numb{sqrt(\numa^2 - c1*c3(#3,#4)/(4*c2(#3)^2)*\DL^2)}%
    \pgfmathsetmacro\denom{2*c1*#5}%
    \pgfmathfloatparse{(#1 == 1) ?%
        (sqrt((\numa + \numb)/\denom))%
        :%
        (sqrt((\numa - \numb)/\denom))%
    }%
}

\begin{document}
    \pgfkeys{/pgf/fpu=true}
    \pgfmathparse{N1(1, 4e-6, 1.2, 0.44, 0.115)}\pgfmathprintnumber[sci, precision=2]{\pgfmathresult}\\
    \pgfkeys{/pgf/fpu=false}
    This is the equation im trying to solve:
    \begin{equation} \label{eq:N1}
    N_{1_{1,2}} =\sqrt{
        \frac{\frac{\Delta L}{2} +L_{min} \pm \sqrt{\left(\frac{\Delta L}{2} + L_{min}\right)^2 - \frac{c_1 c_3}{4\cdot c_2^2}\cdot \Delta L^2}}
        {2\cdot c_1 d_1}
    }
    \end{equation}
    This should print out its solution:
    \pgfkeys{/pgf/fpu=true}
    \begin{equation*}
    N_{1_{1,2}} =
    \left\{ \begin{array}{l}
    \pgfmathparse{N1(1, 4e-6, 1.2, 0.44, 0.115)}\pgfmathprintnumber[fixed, precision=2]{\pgfmathresult}\\
    \pgfmathparse{N1(2, 4e-6, 1.2, 0.44, 0.115)}\pgfmathprintnumber[fixed, precision=2]{\pgfmathresult}
    \end{array}\right.
    \end{equation*}
    \pgfkeys{/pgf/fpu=false}
\end{document}

しかし、結果の精度については確信がありません。jfbus ソリューションと wxMaxima からの出力と比較すると、分子の平方根はゼロではなくなりましたが、非常に小さい (e-18) です。たとえ非常に小さな違いであっても、pgfmath の全体的な精度に興味があります。なぜなら、後でコンパイルするときにすべての計算を Latex で行う予定であり、その後のすべての計算に疑問を抱いているからです。

それで、皆さん、全体的に見て、この種のアプリケーションに pgfmath を使用するのは良い考えだと思いますか? 同様のことをした人はいますか、それとも、数学計算にワードプロセッサを信頼するのは悪い考えなのでしょうか?

ちなみに、私は\pgfmathsetmacro後で必要になる結果を保存するために使用しました。もっと良い解決策はありますか、それともこれが一般的な方法ですか?

アップデート 2: LuaTeX + luacode

pgfmathこれまでのところ順調です。私は自分のアプローチが不正確だったため諦め、現在は Marks luaTeX バージョンに集中しています。

このソリューションは、計算されたソリューションを数式やテキストに埋め込むための優れた方法を提供します。ただし、これを本当に便利なものにするには、環境で動作させる必要がありますpgfplot。次に例を示します。

\documentclass[preview,border=5]{standalone}
\usepackage[fleqn]{amsmath}
\usepackage{luacode}
\usepackage{tikz}
\usepackage{pgfplots}
\begin{luacode*}
    -- test
    pi = math.pi
    sqrt = math.sqrt
    m0 = 4 * pi * 1e-7
    K = m0 * pi / 4
    c1 = K / 1.45
    c2 = function (g) return c1 / (g^2); end 
    c3 = function (g, l) return K / (g * (l + 0.45)); end
    DLrel = function (g, l) 
        return  (2 * sqrt((580 * l + 261) * g^3) + 40 * l + 18) /
                (29 * g^3 - 20 * l - 9)
    end
    DLrel_lmd = function (l) return DLrel(sqrt(l^2+1),l); end

    N1 = function (s, Lmin, g, l, d1) 
        dL = DLrel(g, l) * Lmin
        nm = dL / 2 + Lmin
        rt = (nm^2 - c1 * c3(g, l) * 0.25 * c2(g)^-2 * dL^2)
        dn = 2 * c1 * d1
        s = -(s % 2) * 2 + 1
    return sqrt((nm + s * sqrt(rt)) / dn) 
    end

    print = function (d,s) 
        if d == 0 then
         format = "%d"
        else
         format = "%." .. d .. "f"
        end
        tex.sprint(string.format(format,s));
    end

\end{luacode*}
\newcommand{\lp}[2][16]{\directlua{print(#1,#2)}}

\begin{document}
    now i can do calculations in lua and print them out in formulas:
    \begin{equation*}
        N_{1_{1,2}} = \left\{ 
        \begin{array}{l}
            \lp[4]{N1(1, 4e-6, 1.2, 0.446, 0.115)}
            \\    
            \lp[4]{N1(2, 4e-6, 1.2, 0.446, 0.115)}
        \end{array}\right.
    \end{equation*}

    Some serious research done here..\\
    ..oh some new values i came across, i can embed them in my text:\\

\begin{luacode}
    now  = 42.42424242424242
\end{luacode}

    \(  now = \lp[4]{now}\)
    as you can see in this fancy plot:

    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[
                width=0.5\linewidth,
                height=10cm,
                xmin=0, xmax=180,
                ymin=0, ymax=50,
                xlabel=$time$,
                ylabel=Questions accouring while learning LaTeX,
            ]
            \addplot[
            thick,
            blue,
            domain=0:180,
            samples=200,
            ]{42*sin(x)}; % This value should be taken from lua
            \addplot[
            red,
            only marks
            ] coordinates {
                (90, 42) % This value should be taken from lua
            }
            [yshift=10pt, xshift = 10pt]
            node[pos=0] {$now = 42$}; % This value should be taken from lua
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
\end{document}

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