畳み込みとフーリエ変換の書き方

Question

次の式を LaTeX で記述したいと思います。

\begin{equation}
x(t) \ast h(t) = y(t) 

X(f) H(f) = Y(f) 
\end{equation}

畳み込みを表したいです\ast。 コマンドもあることは知っています\star。畳み込みを表すのにどちらを使うかは重要ですか? 次に、フーリエ変換記号、つまり、両側に色付きの円と空の円がある線で、それぞれ x(t) と X(f)、h(t) と H(f)、y(t) と Y(f) を接続したいです。これを行う方法はありますか?

Answer 1

\circledastパッケージのシンボルは通常amssymb、循環畳み込みプロセスを表すために使用されます。

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\begin{document}

\begin{align*}
x(t) \circledast h(t) &= y(t) \\
X(f) H(f) &= Y(f) 
\end{align*}

\end{document}

線形畳み込みの場合、単純な方*が適切です。

\begin{align*}
x(t)*h(t) &= y(t) \\
X(f) H(f) &= Y(f) 
\end{align*}

方程式の各部分間の接続を描画するには、TikZ パッケージとそのtikzmarkライブラリを使用して、線の開始位置と終了位置をマークできます。

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,tikz}
\usetikzlibrary{arrows.meta,tikzmark}
\begin{document}

\begin{align*}
x\tikzmark{x}(t)*h\tikzmark{h}(t) &= y\tikzmark{y}(t) \\[2em]
X(f) \, H(f) &= Y(f) 
\end{align*}

\begin{tikzpicture}[overlay,remember picture, > = {Circle[open,blue]}]
  \draw [<->] ([yshift=-.7ex]pic cs:x) -- ++(0,-2.2em);
  \draw [<->] ([yshift=-.7ex]pic cs:h) -- ++(0,-2.2em);
  \draw [<->] ([yshift=-.7ex]pic cs:y) -- ++(0,-2.2em);
\end{tikzpicture}

\end{document}

Answer 2

trfsigns パッケージを使用すると、フーリエ変換ペア間のシンボルを取得するより簡単な方法があることを付け加えておきます。

\usepackage{trfsigns}
$g(x_1,x_2)* h(x_1,x_2)\laplace G(\omega_1,\omega_2)\cdot H(\omega_1,\omega_2)$