小数点から2進数への変換をどのように説明できますか？

Question

1/5 には無限の係数が必要なので、10 進数から 2 進数に正確に変換することはできません。(ただし、周期展開を取得するコードを書くことはできます)

16 進数から 10 進数に変換する場合、これはで利用できますxintexpr。

ただし、結果には内部表記が使用されるため、からマクロxintfracも取得します(ごく最近の場合は、TeX インストールを更新する必要があるかもしれません)。\PolDecToStringpolexpr 0.4

\documentclass{article}
\usepackage{xintexpr}
\usepackage{xintbinhex}

\usepackage{polexpr}[2018/02/16]% Only for its \PolDecToString commodity!
\begin{document}
\PolDecToString{\xintREZ{\xinttheexpr "0.A46C\relax}}
\end{document}

2進数から10進数への変換はこちら

\documentclass{article}
\usepackage{xintexpr}% we could load xintfrac only, but anyhow
% polexpr loads xintexpr
\usepackage{xintbinhex}

\usepackage{polexpr}[2018/02/16]% Only for its \PolDecToString commodity!

\makeatletter
\newcommand\FracBinToDecimal[1]{\romannumeral-`0%
  % to be used on input expanding to
  % <binary digits>[.<binary digits>]
  \expandafter\FracBin@ToDecimal\romannumeral0\xintraw{#1}%
  % the above handles this abusively as if was a decimal number with
  % only 1's and 0's
}%
\def\FracBin@ToDecimal #1/#2[#3]{% something got wrong if #2 is not 1 !
  \ifnum#3<\z@
    \expandafter\@firstoftwo
  \else
    \expandafter\@secondoftwo
  \fi
  {\PolDecToString
     {\xintREZ{\xintiiMul{\xintBinToDec{#1}}{\xintiiPow{5}{-#3}}[#3]}}%
  }%
  {\xintiiMul{\xintBinToDec{#1}}{\xintiiPow{2}{#3}}}%
}%
\makeatother

\newcommand\test[1]{\[#1_b = \FracBinToDecimal{#1}_{10}\]}

\begin{document}    
\test{11001}

\test{11001.11001}

\test{0.0001}

\test{-1111.1111}
\end{document}

OP に計算シートを追加した後、探しているデザインを表示します。

すべての計算が正確であれば、OP の計算シートに明らかなようにエラーは発生しないことに注意してください。

期間検出器を追加することは可能です~~が、以前の小数部をすべてメモリに保存する必要があります (たとえば、長さが 1000000 オーダーの期間がある場合に問題になります)。~~一般的に、期間は小数点の直後に始まり、後で開始したときに検出できます。それでも、期間が非常に大きくなる可能性があることは事実です。

0.521728515624を底とする例を考えてみましょう16。はの倍数1000000000000=10^12です。したがって、（奇跡的な数字の一致がない限り）小数点の 3 桁目から始まるピリオドが得られます。ピリオドの長さ（ここで分子は 5 と素数です）は、の乗法群におけるの位数になります。16^35^1216Z/5^12 Z

phi(5^12) = 5^12 - 5^11 = 4 * 5^11 = 195312500

それから

>>> for i in [2, 4, 5]:
...     pow(16, 195312500//i, 244140625)
... 
1
1
97656251

16は、この乗法群においてがちょうどの位数であることを証明します5^11 = 48828125。したがって、これはの 16 進展開の周期の長さです0.521728515624。周期パターンにはの48828125数字があります。

一般的に、事前に周期の長さを見つけることは、数を因数分解することに非常に関連していることがわかります。素因数が (非常に) 小さいため、上記のすべての計算は、適切な xintexpr プログラムによってかなり高速に実行できます。8 桁を超える素因数を持つようになると、TeX マクロ展開のみを使用した計算では難しい課題になります。

私はページ区切りを可能にするために表形式を使用していません。最善の方法は、TeX を使用することです\halign。LaTeX のタブ環境を使用することもできます (テストしたことはありません)。または、単純に固定幅のボックスを使用することもできます。

\documentclass[french]{article}
\usepackage{xintfrac, xinttools}
\usepackage{polexpr}[2018/02/16]% Pour \PolDecToString
\usepackage{babel}
\usepackage[autolanguage,np]{numprint}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\newcommand\ConvertitEnHexa[2][25]{% #1 MUST BE OF THE 0.<decimal digits> type
  % (we can not use 1/5 because numprint's \np macro does not like the /)
  % the dot will be converted into a comma by \np macro
  % computes 25 digits by default. Abort earlier if all become zeros.
  \noindent Nombre à convertir en base 16: \np{#2}.\par
  \edef\ConvertitNombre{\xintRaw{#2}}%
  \xintiloop[1+1]
  \edef\ConvertitSeizeFoisNombre{\xintMul{16}{\ConvertitNombre}}%
  \edef\ConvertitSeizeFoisNombrePartieInt
      {\xintTTrunc{\ConvertitSeizeFoisNombre}}%
  \edef\ConvertitSeizeFoisNombrePartieFrac
      {\xintTFrac{\ConvertitSeizeFoisNombre}}%
  $16\times\np{\PolDecToString{\ConvertitNombre}}
             = \boxed{\ConvertitSeizeFoisNombrePartieInt} +
               \np{\PolDecToString{\ConvertitSeizeFoisNombrePartieFrac}}$\par
  \let\ConvertitNombre\ConvertitSeizeFoisNombrePartieFrac
  \xintifZero{\ConvertitNombre}{\xintbreakiloop}{}%
  \ifnum#1>\xintiloopindex\space
  \repeat
}
\newcommand\ConvertitFracEnHexa[2][25]{%
  % #1 MUST BE OR EXPAND TO A/B WITH 0 < A < B
  % computes 25 digits by default. Abort earlier if all become zeros.
  \edef\ConvertitNombre{\xintIrr{#2}}%
  \noindent Nombre à convertir en base 16: \ConvertitNombre.\par
  \xintiloop[1+1]
  \edef\ConvertitSeizeFoisNombre{\xintMul{16}{\ConvertitNombre}}%
  \edef\ConvertitSeizeFoisNombrePartieInt
      {\xintTTrunc{\ConvertitSeizeFoisNombre}}%
  \edef\ConvertitSeizeFoisNombrePartieFrac
      {\xintTFrac{\ConvertitSeizeFoisNombre}}%
  $16\times\xintFrac{\xintRawWithZeros\ConvertitNombre}
             = \boxed{\ConvertitSeizeFoisNombrePartieInt} +
               \xintFrac{\xintRawWithZeros\ConvertitSeizeFoisNombrePartieFrac}$\par
  \let\ConvertitNombre\ConvertitSeizeFoisNombrePartieFrac
  \xintifZero{\ConvertitNombre}{\xintbreakiloop}{}%
  \ifnum#1>\xintiloopindex\space
  \repeat
}

\begin{document}
\ConvertitEnHexa{0.99609375}

\bigskip

\ConvertitEnHexa{0.521728515625}
\bigskip

\ConvertitEnHexa{0.521728515624}
et ça peut continuer longtemps avant que l'on voie la période\dots\bigskip

\clearpage
\ConvertitEnHexa[12]{0.4075}
etc\dots

\bigskip

\ConvertitFracEnHexa[12]{4095/4096}

\bigskip

\ConvertitFracEnHexa[7]{1/5}
etc\dots

\bigskip

\ConvertitFracEnHexa[7]{3/7}
etc\dots

\bigskip

\clearpage

\ConvertitFracEnHexa[7]{9/11}
etc\dots

\end{document}

最終更新。これに合わせて画像が更新されました。

\documentclass[french]{article}
\usepackage{xintfrac, xinttools}
\usepackage{polexpr}[2018/02/16]% Pour \PolDecToString
\usepackage{babel}
\usepackage[autolanguage,np]{numprint}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}

\newcommand\MiniConvert[1]{\ifcase #1
  0\or 1\or 2\or 3\or 4\or 5\or 6\or 7\or 8\or 9\or A\or B\or C\or D\or E\or
  F\or G\or H\or I\or J\or K\or L\or M\or N\or O\or P\or Q\or R\or S\or T\or
  U\or V\or W\or X\or Y\or Z\else\ERROR\fi}%
\newcommand\ConvertitEnBaseB[3][25]{% #1 MUST BE OF THE 0.<decimal digits> type
  % (we can not use 1/5 because numprint's \np macro does not like the /)
  % the dot will be converted into a comma by \np macro
  % computes 25 digits by default. Abort earlier if all become zeros.
  % #3 = base < 36
     \def\ConvertiDots{\dots}%
  \noindent Nombre à convertir en base #3: \np{#2}.\par
  \def\Converti{0,}%<<<< LOCALIZE TO YOUR LANGUAGE
  \edef\ConvertitNombre{\xintRaw{#2}}%
  \xintiloop[1+1]
  \edef\ConvertitBFoisNombre{\xintMul{#3}{\ConvertitNombre}}%
  \edef\ConvertitBFoisNombrePartieInt
      {\xintTTrunc{\ConvertitBFoisNombre}}%
  \edef\ConvertitBFoisNombrePartieFrac
      {\xintTFrac{\ConvertitBFoisNombre}}%
  $#3\times\np{\PolDecToString{\ConvertitNombre}}
             = \boxed{\ConvertitBFoisNombrePartieInt} +
               \np{\PolDecToString{\ConvertitBFoisNombrePartieFrac}}$
  \hfill
  \llap{${}\longrightarrow{}$\MiniConvert\ConvertitBFoisNombrePartieInt}\par
  \edef\Converti{\Converti\MiniConvert{\ConvertitBFoisNombrePartieInt}}%
  \let\ConvertitNombre\ConvertitBFoisNombrePartieFrac
  \xintifZero{\ConvertitNombre}
    {\xintbreakiloopanddo\let\ConvertiDots\empty.}%
    {}%
  \ifnum#1>\xintiloopindex\space
  \repeat
  \noindent\mbox{}\hfill$\np{#2}=[$\Converti\ConvertiDots$]_{#3}$\par
}
\newcommand\ConvertitFracEnBaseB[3][25]{%
  % #1 MUST BE OR EXPAND TO A/B WITH 0 < A < B
  % computes 25 digits by default. Abort earlier if all become zeros.
     \def\ConvertiDots{\dots}%
  \edef\ConvertitNombre{\xintIrr{#2}}%
  \def\Converti{0,}%<<<< LOCALIZE TO YOUR LANGUAGE
  \noindent Nombre à convertir en base #3: \ConvertitNombre.\par
  \xintiloop[1+1]
  \edef\ConvertitBFoisNombre{\xintMul{#3}{\ConvertitNombre}}%
  \edef\ConvertitBFoisNombrePartieInt
      {\xintTTrunc{\ConvertitBFoisNombre}}%
  \edef\ConvertitBFoisNombrePartieFrac
      {\xintTFrac{\ConvertitBFoisNombre}}% does \xintREZ, not good for us
  $#3\times\xintFrac{\xintRawWithZeros\ConvertitNombre}
             = \boxed{\ConvertitBFoisNombrePartieInt} +
               \xintFrac{\xintRawWithZeros\ConvertitBFoisNombrePartieFrac}$\par
  \hfill
  \llap{${}\longrightarrow{}$\MiniConvert\ConvertitBFoisNombrePartieInt}\par
  \edef\Converti{\Converti\MiniConvert{\ConvertitBFoisNombrePartieInt}}%
  \let\ConvertitNombre\ConvertitBFoisNombrePartieFrac
  \xintifZero{\ConvertitNombre}
    {\xintbreakiloopanddo\let\ConvertiDots\empty.}%
    {}%
  \ifnum#1>\xintiloopindex\space
  \repeat
  \noindent\mbox{}\hfill$\xintFrac{#2}=[$\Converti\ConvertiDots$]_{#3}$\par}%


\begin{document}
\ConvertitEnBaseB{0.99609375}{16}

\bigskip

\ConvertitEnBaseB{0.521728515625}{16}
\bigskip

\ConvertitEnBaseB{0.521728515624}{16}
et ça peut continuer longtemps avant que l'on voie la période\dots\bigskip

\ConvertitEnBaseB[12]{0.4075}{16}
etc\dots

\bigskip

\ConvertitFracEnBaseB[12]{4095/4096}{16}

\bigskip

\ConvertitFracEnBaseB[7]{1/5}{16}
etc\dots

\bigskip

\ConvertitFracEnBaseB[7]{3/7}{16}
etc\dots

\bigskip

\ConvertitFracEnBaseB[10]{9/11}{16}
etc\dots

\bigskip

\ConvertitFracEnBaseB[10]{9/11}{15}
etc\dots

\bigskip

\ConvertitFracEnBaseB[10]{9/11}{14}
etc\dots

\bigskip

\ConvertitFracEnBaseB[15]{9/11}{13}
etc\dots

\bigskip

\ConvertitFracEnBaseB[10]{9/11}{36}
etc\dots

\bigskip

\ConvertitFracEnBaseB[15]{9/11}{2}
etc\dots
\end{document}

Answer 1