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TikZ での楕円体への直交投影

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TikZ での楕円体への直交投影

TikZ で、点から (回転およびシフトされた) 楕円への正射影を描画します。具体的な例として、図の点から楕円までの最短線を描画し、楕円上の点もマークしたいとします。

ここに画像の説明を入力してください

私は円でこれを行うことに成功しました (点は、円と点自体と円の中心を通る線との交点によってのみ与えられるため)。しかし、楕円では、TikZ で動作させることができないようです。

上記の図のサンプルコードは次のようになります。

\documentclass{standalone}
\usepackage{tikz,tkz-euclide}

\begin{document}

\newcommand{\boundellipse}[3]% center, xdim, ydim
{(#1) ellipse (#2 and #3)
}

\begin{tikzpicture}

\draw[shift={(-0.875,0)},rotate=25] \boundellipse{0,0}{1}{3};%left

\node at (0,4)[circle,fill,inner sep=1.5pt]{};

\end{tikzpicture}

\end{document}

答え1

TikZ + 勾配降下法をお勧めします

\documentclass[tikz]{standalone}
\usepackage{tikz,tkz-euclide}

\begin{document}

\newcommand{\boundellipse}[3]% center, xdim, ydim
    {(#1) ellipse (#2 and #3)}

\makeatletter
\xdef\sx{-0.875} % shift x
\xdef\sy{0} % shift y
\xdef\ra{1} % radius a
\xdef\rb{3} % radius b
\xdef\ro{25} % rotation
\pgfpointxy{0}{4}
\xdef\Px{\the\pgf@x}\xdef\Py{\the\pgf@y}

% let \ang ("angle") be a free variable and run gradient descent
\def\ang{234} % choose your favorite initial value
\foreach\iterationcounter in{1,...,20}{
    \begin{tikzpicture}
        \draw(-5,-3)rectangle(1,5);
        \draw[shift={(-0.875,0)},rotate=25] \boundellipse{0,0}{1}{3};
        \node at (0,4)[circle,fill,inner sep=1.5pt]{};
        % evaluate Ellipse(\ang)
        \pgfpointxy{\sx + \rb*cos(\ang)*sin(\ro) + \ra*sin(\ang)*cos(\ro)}
                    {\sy - \rb*cos(\ang)*cos(\ro) + \ra*sin(\ang)*sin(\ro)}
        \xdef\Qx{\the\pgf@x}\xdef\Qy{\the\pgf@y}
        \draw(\Qx,\Qy)circle(.1);
        % evaluate diff vector to target point
        \xdef\Dx{\the\dimexpr\Px-\Qx}
        \xdef\Dy{\the\dimexpr\Py-\Qy}
        \draw[red,->](\Qx,\Qy)--+(\Dx,\Dy);
        % evaluate tangent line = d Ellipse(\ang) / d\ang 
        \pgfpointxy{- \rb*sin(\ang)*sin(\ro) + \ra*cos(\ang)*cos(\ro)}
                    {+ \rb*sin(\ang)*cos(\ro) + \ra*cos(\ang)*sin(\ro)}
        \xdef\Tx{\the\pgf@x}
        \xdef\Ty{\the\pgf@y}
        \draw[blue,->](\Qx,\Qy)--+(\Tx,\Ty);
        % inner product
        \pgfmathsetmacro\Inn{\Dx*\Tx + \Dy*\Ty}
        % rescale inner product
        \pgfmathsetmacro\inn{\Inn / sqrt(\Tx*\Tx+\Ty*\Ty)}
        \message{^^J thinbold: \inn ^^J}
        % update angle
        \pgfmathsetmacro\ang{\ang + \inn/10} % /10 is the step length
        \xdef\ang{\ang}
    \end{tikzpicture}
}

\end{document}

答え2

数学の問題とアルゴリズム的アプローチ

@Thrustonが示唆するように、この問題を解決するには数学が必要です。いずれにせよ、これは解析的な方法で解くのが難しい、自明ではない（4次）方程式につながります（どちらかを見てみましょう）。同様の質問または点から楕円、点から楕円体までの距離方程式の解析）。つまり、方程式を数値的に解くということです。https://wet-robots.ghost.io/simple-method-for-distance-to-ellipse/元の点からの距離を最小化することで楕円上の点（正射影）を見つける幾何学的かつ安定したアルゴリズムを見つけました。

アルゴリズム

次の手順と画像でアイデアを示します。

  1. 接続するおそしてポ得るためにA_開始(これにより、楕円の「右側」でアルゴリズムを実行できます)。
  2. 円（青）を描き、青い円と楕円の 2 つの交点の中点を求めます。
  3. 中点を使用して新しい小さい円 (紫) を描き、このプロセスを繰り返します (つまり、赤、オレンジ、ピンクなど)。

ここに画像の説明を入力してください

コード

コードには、特に交差点用のパッケージtikzとパッケージが必要です。私はコマンドが使いやすいので使用しています。いずれにしても、純粋な tikz でも同じ結果を得ることができます。tkz-euclide\usetikzlibrary{intersections}tkz-euclide

\begin{tikzpicture}

% INITIAL DATA %
% the arbitrary point P
\tkzDefPoint(3,2){P}
% the center of the ellipse
\tkzDefPoint(0,0){O}
% use rotate=angle to set the desired orientation
\path[draw,name path=theellipse,rotate=20] (O) ellipse (2cm and 1cm);
\tkzLabelPoints[above right](P)
\tkzLabelPoints[below left](O)

% STARTING POINT OF ALGORITHM %
\path[name path=OP] (O)--(P);
\path[name intersections={of=OP and theellipse,by={Aone}}];
% comment/erase if need next three code lines
\tkzLabelPoint[above left](Aone){$A_{\textrm{start}}$}
\tkzDrawCircle[help lines](P,Aone)
\tkzDrawPoints(Aone)

% ALGORITHM TO FIND THE ORTHOGONAL PROJECTION %
% set up a different number of steps if needed
% (algorithm converges relatively fast)
\foreach \i in {1,...,3}
{
% define a circle with center P through Aone
% (Astart for the first step)
\tkzDefCircle[radius](P,Aone)
\tkzGetLength{dPAone}
\path[name path=circle] (P) circle (\dPAone pt);

% find intersections of circle with ellipse (Aone, Atwo)
\path[name intersections={of=circle and theellipse,by={Atwo,Aone}}];

% find a "proper" midpoint of Aone -- Atwo on the ellipse
\tkzDefMidPoint(Aone,Atwo)\tkzGetPoint{Aone}
\path[name path=PAone] (P)--(Aone);
\path[name intersections={of=PAone and theellipse,by={Aone}}];
}


% GET AND PRINT OUT THE DISTANCE
\tkzDrawPoints(O,P,Aone)
\tkzDrawSegment[red](P,Aone)
\end{tikzpicture}

ここに画像の説明を入力してください

答え3

比較のために言うと、これは非常に簡単にメタポストsolveマクロと適切なヘルパー関数を使用します。

ここに画像の説明を入力してください

\documentclass[border=5mm]{standalone}
\usepackage{luamplib}
\begin{document}
\mplibtextextlabel{enable}
\begin{mplibcode}
beginfig(1);

    path e; pair p; numeric k;
    e = fullcircle xscaled 233 yscaled 144 rotated 10;
    p = 160 dir 142;

    vardef acute(expr t) =
        direction t of e dotprod (p - point t of e) > 0
    enddef;

    k = solve acute(0, 4);

    drawarrow p -- point k of e withcolor red;
    draw e; 
    dotlabel.top(btex $p$ etex, p);

endfig;
\end{mplibcode}
\end{document}

これは でラップされているluamplibので、 でコンパイルできますlualatex。

ノート

  • solve176-177ページで説明されていますメタフォントブック。

  • 考え方としては、 がまたはとなるfooようなマクロを定義します。次に、 および が true かつ が false となるような値である を呼び出します。はバイナリ検索を 使用してとの間のエッジ値を検索します。foo(x)truefalsesolve foo(a, b)abfoo(a)foo(b)solveab

  • この場合、私は というマクロを定義しました。このマクロは、 演算子acuteを使用して、楕円dotprodの点における接線が、から楕円の点までのt線と鋭角を形成するかどうかを判断します。pt

  • solve角度が鋭角ではなくなる点、pつまり への線が接線に直交する点を見つけ、 に最も近い点を見つけますp。

  • のさまざまな位置に対して正しい初期値を選択するには、ある程度のスキルと判断力が必要ですp。

ご覧のとおり、私の説明はコードよりもかなり長いです...

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