Cloud Run接続用のCloud SQLに関するドキュメントがあります（詳しくはこちら) ですが、次の行が含まれています。
注: これらの手順を実行するには、Cloud SQL インスタンスにパブリック IP アドレスが設定されている必要があります。
Cloud SQL がパブリック IP アドレスを公開しない (プライベート IP を使用する) 場合、Cloud Run から Postgres Cloud SQL を使用する方法はありますか?
答え1
のCloud Run ページから Cloud SQL に接続するは次のように述べており、そのまま引用します。「注: これらの手順では、Cloud SQL インスタンスにパブリック IP アドレスが設定されている必要があります。」
プライベートIPアクセスは、仮想プライベートクラウド (VPC)VPC 経由でインスタンスにアクセスするには、接続先のリソースと接続元のリソースが同じ VPC の一部である必要があります。
Cloud Runは現在VPCアクセスをサポートしていないため、今のところパブリックIPを使用する必要があります。機能リクエストこの種の機能を有効にするには。