Ich möchte die Excel-PMT-Funktion ändern, um eine feste monatliche Auszahlung des Kredits zu berücksichtigen. Wenn es sich bei dem Kredit beispielsweise um eine Kreditkarte handelt, kann der Karteninhaber jeden Monat Geld ausgeben, und dies ändert die monatliche Zahlung, die zur Rückzahlung des Kredits erforderlich ist.
Diese Antwort gibt die Gleichung für die PMT-Funktion wie folgt an P = (Pv*R) / [1 - (1 + R)^(-n)]:https://superuser.com/a/871411
Wie kann diese Formel geändert werden, um eine feste monatliche Auszahlung einzuschließen?
Wenn es sich bei dem Kredit beispielsweise um eine Kreditkarte handelt und der Karteninhaber 50 $ pro Monat mit der Karte ausgibt, wie ändern wir die obige Formel, um dies zu berücksichtigen? Die Kreditlaufzeit sollte gleich bleiben, aber ich möchte die neue monatliche Zahlung berechnen, die zur Tilgung des Kredits erforderlich ist, um auch die monatliche Auszahlung zu berücksichtigen.
Antwort1
Funktionen wie PMTersparen Benutzern das Verständnis der Mathematik, die den Finanzberechnungsfunktionen von Excel zugrunde liegt. Um zum Typ des inhttps://superuser.com/a/871411Es ist notwendig, diese Mathematik zu verstehen und sie dann anzupassen, um mit dem beschriebenen Szenario umzugehen.
Die grundlegenden mathematischen Beziehungen sind:
v(i+1) = v(i)*(1+r) - p
v(1) = L
v(n+1) = 0
wobei ein Betrag L für n Perioden zu einem Zinssatz von r pro Periode geliehen wird und die Rückzahlungsbeträge p betragenam Ende jeder Periode. v(i) ist der ausstehende Kreditbetrag zu Beginn der i-ten Periode.
Die erste Beziehung (Gleichung)
v(i+1) = v(i)*(1+r) - p
besagt in Worten einfach, dass der zu Beginn der Periode i ausstehende Betrag um die während der Periode i aufgelaufenen Zinsen erhöht und anschließend um den am Ende der Periode i geleisteten Zahlungsbetrag reduziert wird, um den zu Beginn der folgenden Periode (Periode i+1) ausstehenden Betrag zu erhalten.
Die anderen beiden Gleichungen geben lediglich die Anfangs- und Endbedingungen des Kredits an.
Beachten Sie, dass sich die erste Gleichung wie folgt ändern würde, wenn die Zahlungen p zu Beginn jeder Periode (und nicht am Ende) geleistet würden:
v(i+1) = (v(i)-p)*(1+r) und v(i) wäre der zu Beginn der Periode i ausstehende Betrag.unmittelbar vor der Zahlung p.
Die folgende Analyse, die p anhand von L, r und n bestimmt, geht davon aus, dass die Zahlungen am Ende jeder Periode erfolgen.
Mathematische Analyse
Dies beginnt mit der Beziehung zwischen dem ausstehenden Kreditbetrag in aufeinanderfolgenden Perioden
v(i+1) = v(i)*(1+r) - p [Gleichung 1]
Da Gleichung 1 für alle Zeiträume gilt, folgt daraus, dass
v(i+2) = v(i+1)*(1+r) - p
Wenn wir nun Gleichung 1 verwenden, um v(i+1) in dieser zweiten Gleichung zu ersetzen, erhalten wir
v(i+2) = (v(i)*(1+r) - p) * (1+r) - p
Mit ein wenig Umstellung kann dies wie folgt geschrieben werden:
v(i+2) = v(i)*(1+r)^2 - p * ((1+r) + 1) [Gleichung 2]
Aus Gleichung 1 folgt wiederum, dass
v(i+3) = v(i+2)*(1+r) - p
Wenn wir also v(i+2) durch Gleichung 2 ersetzen, erhalten wir
v(i+3) = (v(i)*(1+r)^2 - p * ((1+r) + 1)) * (1+r) - p
die wie folgt umgestellt werden kann:
v(i+3) = v(i)*(1+r)^3 - p * ((1+r)^2 + (1+r) + 1) [Gleichung 3]
Die Gleichungen 1, 2 und 3 drücken v(i+1), v(i+2) und v(i+3) jeweils in den Termen v(i), r und p aus. Es gibt ein emergentes Muster (*) in den Gleichungen 1, 2 und 3, das verwendet werden kann, um eine allgemeine Gleichung m als
v(i+m) = v(i)*(1+r)^m - p * ((1+r)^(m-1) + (1+r)^(m-2) + ... + (1+r) + 1)[Gleichung m] zu schreiben.
Der Faktor, mit dem p multipliziert wird, ist eine endliche geometrische Reihe, rückwärts geschrieben. Eine geometrische Reihe (googeln Sie es) ist eine Summe, in der jedes nachfolgende Glied das vorherige Glied multipliziert mit einem konstanten Betrag ist.
Für eine allgemeine endliche geometrische Reihe geschrieben
S(m) = 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^(m-1)
Es gibt einen bekannten Ausdruck, der
S(m) = (x^m - 1)/(x - 1)
In Gleichung m wird die geometrische Reihe rückwärts geschrieben und x = 1+r, so dass die Gleichung vereinfacht werden kann zu
v(i+m) = v(i)*(1+r)^m - p((1+r)^m - 1)/(1+r - 1))
oder Vereinfachung des letzten Nennerterms
v(i+m) = v(i)*(1+r)^m - p((1+r)^m - 1))/r [Gleichung m']
Setzen Sie nun den allgemeinen Wert m auf die Anzahl der Perioden n, setzen Sie i auf 1 und beachten Sie die Randbedingungen, dass
v(1) = L und
v(n+1) = 0
Dadurch erhält man eine Version der Gleichung m' als
0 = L*(1+r)^n - p((1+r)^n - 1)/r
was mit ein wenig Umstellung geschrieben werden kann als
p = (L * r * (1+r)^n)/((1+r)^n - 1)
oder, indem man Zähler und Nenner auf der rechten Seite durch (1+r)^n dividiert
p = (L*r)/(1 - (1+r)^(-n)) [Gleichung für p]
Dies ist im Grunde die zuvor ermittelte Formel.
Szenario mit zusätzlicher Kreditaufnahme
Nehmen wir hier an, dass zu Beginn jeder Periode (einschließlich der ersten) ein zusätzlicher Betrag b geliehen wird. v(i) ist nun der ausstehende Kreditbetrag zu Beginn der Periode i,unmittelbar bevor der Betrag b dem Darlehen hinzugefügt wird.
Die Beziehungen sind jetzt
v(i+1) = (v(i)+b)*(1+r) - p
v(1) = L
v(n+1) = 0
Die Anwendung derselben Analyse wie oben beschrieben führt zur Analogie der Gleichung m' als
v(i+m) = v(i) * (1+r)^m + b * (1+r)*((1+r)^m - 1)/r - p * ((1+r)^m -1)/r
Dies kann nach dem Anwenden der Start- und Endbedingungen und nach ein wenig Manipulation wie folgt aufgelöst werden:
p = (L * r)/(1 - (1+r)^(-n)) + b * (1+r)
Es gibt potenziell vier verschiedene Szenarien: jeweils zwei Möglichkeiten für den Zeitpunkt der Zahlungs- und Kreditaufnahmetransaktionen – entweder zu Beginn oder am Ende der Periode – also zwei Möglichkeiten für jede der beiden Transaktionsarten, was insgesamt vier Möglichkeiten ergibt. Jedes Szenario kann der oben beschriebenen Art von Analyse unterzogen werden. Zahlungen am Ende jeder Periode und zusätzliche Kreditaufnahme zu Beginn sind das analysierte Szenario – die verbleibenden drei möglichen Szenarien bleiben dem Leser als Übung überlassen.
Warnung
In der Praxis verwenden Finanzinstitute, wenn die Zeiträume Monate sind, häufig tägliche Zinsberechnungen, um zu berücksichtigen, dass jeder Monat unterschiedlich lang ist, und einige (mit Blick auf Sie, Barclaycard UK) variieren sogar die Termine, an denen Zinsen auf Konten angewendet werden, von Monat zu Monat. Im Allgemeinen PMTliefern Berechnungen und solche, die auf der obigen Analyse basieren, also vernünftige, aber keine genauen Schätzungen dessen, was in der Realität passiert.
(*) Echte Mathematiker würden sich natürlich nicht einfach darauf verlassen, dass die Beobachtung eines emergenten Musters „die Wahrheit“ ist, sondern sich zum Ziel setzen, die allgemeine Wahrheit dieses Musters zu beweisen (oder zu widerlegen). Der Einfachheit halber habe ich den Beweis, dass Gleichung m im Allgemeinen wahr ist, ausgelassen, aber glauben Sie mir (ich habe mehrere Abschlüsse in Mathematik), der Beweis existiert.