TikZ: nichtlineare Tangentenkurve

Question

Ich möchte eine Tangentenkurve von Punkt (a)zu Punkt zeichnen (b), die den Punkt (c)(die Mitte des Quadrats) schneidet. Die Kurve sollte gemäß den grauen Linien gestreckt werden (logarithmische Skala). Ich habe mit herumprobiert controls, bin aber nicht sehr weit gekommen. Gibt es eine bessere Möglichkeit als die Verwendung von controls?

Mein Code bisher:

\documentclass{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[every node/.style = {draw, circle, fill=white, inner sep=.01cm}]

\draw (0, 1) -- (10, 1) -- (10, -1) -- (0, -1) -- cycle;
\node (a) at (0, -1) {a};   % south-west corner
\node (b) at (10, 1) {b};   % north-east corner
\node (c) at (5, 0) {c};    % center
\foreach \n in {1,...,50} \draw[gray, very thin]
        ({10/pow(2, \n/12)}, 1)
    --  ({10/pow(2, \n/12)}, -1);

\draw[cyan] (a) -- (b);

\end{tikzpicture}
\end{document}

Das Ergebnis:

Ich möchte Folgendes erreichen (wobei die linke Hälfte der Kurve schneller abfallen sollte):

Answer 1

Vielleicht kommt man damit etwas näher?

\documentclass{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[every node/.style = {draw, circle, fill=white, inner sep=.01cm}]

\draw (0, 1) -- (10, 1) -- (10, -1) -- (0, -1) -- cycle;
\node (a) at (0, -1) {a};   % south-west corner
\node (b) at (10, 1) {b};   % north-east corner
\node (c) at (5, 0) {c};    % center
\foreach \n in {1,...,50} \draw[gray, very thin]
        ({10/pow(2, \n/12)}, 1)
    --  ({10/pow(2, \n/12)}, -1);

\draw[thick,cyan] (a) to[out=0,in=270,looseness=0.55] (c.center) to[out=65,in=180,looseness=0.5] (b);

\end{tikzpicture}
\end{document}

Answer 2

Das ist, was ich aus Ihrer Beschreibung in einem Ihrer Kommentare entnehme. War ich Ihrer Idee nahe? Wenn nicht, könnten Sie vielleicht ein handgezeichnetes Modell bereitstellen.

\usetikzlibrary{calc}
\begin{tikzpicture}[every node/.style = {draw, circle, fill=white, inner sep=.01cm}]

\draw (0, 1) -- (10, 1) -- (10, -1) -- (0, -1) -- cycle;
\node (a) at (0, -1) {a};   % south-west corner
\node (b) at (10, 1) {b};   % north-east corner
\node (c) at (5, 0) {c};    % center
\foreach \n in {1,...,50} \draw[gray, very thin]
        ({10/pow(2, \n/12)}, 1)
    --  ({10/pow(2, \n/12)}, -1);

\draw[cyan] (a) .. controls +(5, 0) and +(-.5, -.5) .. (c.center) .. controls +(.5,.5) and +(-1,0) .. (b);
\end{tikzpicture}