.texIch kann eine Datei, die ich geschrieben und als Datei gespeichert habe, einfach nicht öffnen .pdf.
Hier ist, was ich geschrieben habe:
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[a4paper,left=2.54cm,right=2.54cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm]{geometry}
\usepackage[croatian]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{times}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{setspace}
\onehalfspacing
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}{\fontsize{16pt}{20pt}\selectfont\bfseries}{\thesection.}{0.4cm}{}
\titleformat{\subsection}{\fontsize{14pt}{18pt}\selectfont\bfseries}{\thesubsection.}{0.4cm}{}
\setlength{\parskip}{10pt}
\titlespacing*{\section}{0pt}{0.5cm}{0pt}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{0.5cm}{0pt}
\usepackage{enumitem}
\setlist{topsep=3pt,itemsep=3pt}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[numbers]{natbib}
\setlength{\bibsep}{2pt}
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
Sveučilište u Zagrebu\\
Fakultet organizacije i informatike
\end{center}
\vfill
\begin{center}
\Large Esej br. $n$: Naziv eseja
\end{center}
\vfill
U Varaždinu, 20.03.2014.\hfill Prezime Ime, grupa G12
\newpage
\setcounter{page}{1}
\section{Numerička integracija}
\par
Osnovna ideja numeričke integracije je približno izračunavanje $I$ ($f$) korištenjem vrijednosti funkcije $f$ na nekom konačnom skupu točaka. Recimo odmah da postoje i integracijske formule koje koriste i derivacije funkcije $f$
\begin{align*}
I(f) = \int^b_a f(x) dx.
\end{align*}
\par
Opća integracijska formula ima oblik
\begin{align*}
I(f) = \I_m(f)+\E_m(f)\\,
\end{align*}
\par
pri čemu je $m$+1 broj korištenih točaka, $I_m$($f$) pripadna aproksimacija integrala, a $E_m$($f$) pritom napravljena greška. Ovakve formule za približnu integraciju funkcija jedne varijable (tj. na jednodimenzionalnoj domeni) često se zovu i kvadraturne formule, zbog interpretacije integrala kao površine ispod krivulje.
\par
Ako koristimo samo funkcijske vrijednosti za aproksimaciju integrala, onda aproksimacija $I_m$($f$) ima oblik
\begin{align*}
I_m(f) = \sum_{k=0}^m w^{(m)}_k f(x^{(m)}_{k}),
\end{align*}
\par
pri čemu je $m$ neki unaprijed zadani prirodni broj. Koeficijenti $x^{(m)}_{k}$ zovu se čvorovi integracije, a $w^{(m)}_k$ težinski koeficijenti.
\par
U općem slučaju, za fiksni $m$, moramo nekako odrediti $2m+2$ nepoznatih koeficijenata. Uobičajen način njihovog određivanja je zahtjev da su integracijske formule egzaktne na vektorskom prostoru polinoma što višeg stupnja.
\newpage
\section{Newton-Cotesove formule zatvorenog tipa}
Newton-Cotesove formule zatvorenog tipa imaju ekvidistantne čvorove, s tim da je prvi čvor u točki $x_0:=a$, a posljednji u $x_m:=b$. Preciznije, za zatvorenu Newton-Cotesovu formulu s $(m+1)$-nom točkom čvorovi su
\begin{align*}
x^{(m)}_{k} = x_0+kh_m, k=0,...,m, h_m = \frac{b-a}{m}\\.
\end{align*}
Osnovni oblik Newton-Cotesovih formula je:
\begin{align*}
\int^b_a f(x) dx \approx I_m (f) = \sum_{k=0}^m w^{(m)}{k} f(x_0 + kh_m).
\end{align*}
\newpage
\section{Trapezna formula}
Za izvod trapezne formule moramo izvest zatvorenu Newton-Cotesovu formulu za $m=1$, aproksimacija integrala ima oblik
\begin{align*}
I_1 (f) = w^{(1)}_{0} f(x_0) + w^{(1)}_{1} f(x_0+h_1),
\end{align*}
pri čemu je
\begin{align*}
h := h_1 = \frac{b-a}{1} = b-a,
\end{align*}
pa je $x_0=a$ i $x_1=b$. Za lakše pisanje, s obzirom da znamo da je $m=1$, izostavljamo gornje indekse u $w^{(1)}_{k}$, pišemo $w_k:=w^{(1)}_{k}$. Moramo pronaći težine $w_0$ i $w_1$, tako da integracijska formula egzaktno integrira polinome što višeg stupnja na intervalu $[a,b]$, tj. da za polinome $f$ što višeg stupnja bude
\begin{align*}
\int^b_a f(x) dx = I_1(f) = w_0 f(a) + w_1 f(b).
\end{align*}
Nakon toga redom stavljamo uvjete na bazu vektorskog prostora polinoma. Ako je $f$ neki od polinoma baze vektorskog prostora, morate ćemo izračunati njegov integral. Zbog toga je preporučljivo odmah izračunati integrale oblika
\begin{align*}
\int^b_a x^k dx, k \ge 0,
\end{align*}
a zatim rezultat koristiti za razne $k$. Vrijedi
\begin{align*}
\int^b_a x^k dx = \frac{x^{k+1}}{k+1} \arrowvert^b_a = \frac{b^{k+1} - a^{k+1}}{k+1}.
\end{align*}
Za $f(x) = 1= x^0$ dobivamo
\begin{align*}
b-a = \int^b_a x^0 dx = w_0 \cdot 1 + w_1 \cdot 1.
\end{align*}
Odmah je očito da iz jedne jednadžbe ne možemo odrediti dva nepoznata parametra, pa moramo zahtjevati da integracijska formula bude egzaktna i na polinomima stupnja 1. Za $f(x) = x$ dobivamo
\begin{align*}
\frac{b^2 - a^2}{2} = \int^b_a x dx = w_0 \cdot a + w_1 \cdot b.
\end{align*}
Sada imamo dvije jednadžbe s dvije nepoznanice
\begin{align*}
w_0 + w_1 = b-a
aw_0 + bw_1 = \frac{b^2 - a^2}{2}.
\end{align*}
Pomnožimo li prvu jednadžbu s $(-a)$ i zbrojimo s drugom, dobivamo
\begin{align*}
(b-a)w_1 = \frac{b^2 - a^2}{2} - a(b-a) = \frac{b^2 -2ab+a^2}{2} = \frac{(b-a)^2}{2}.
\end{align*}
Budući da je $a \neq b$, dijeljenjem s $b-a$, dobivamo
\begin{align*}
w_1=\frac{1}{2}(b-a) = \frac{h}{2}.
\end{align*}
Drugu težinu $w_0$ lako izračunamo iz prve jednadžbe linearnog sustava
\begin{align*}
w_0=b-a-w_1=\frac{1}{2}(b-a)=\frac{h}{2},
\end{align*}
pa je $w_0=w_1$.
Vidimo da je integracijska formula $I_1(f)$ dobivena iz egzaktnosti na svim polinomima stupnja manjeg ili jednakog 1, i glasi
\begin{align*}
\int^b_a f(x) dx \approx \frac{h}{2} (f(a)+f(b)).
\end{align*}
Ta izvedena formula koju smo dobili zove se trapezna formula. Sredimo li tu formulu dobivamo:
\begin{align*}
\int^b_a f(x) dx \approx \frac{f(a) + f(b)}{2}(b-a),
\end{align*}
Sama geometrijska interpretacija te formule na sljedećem grafu nam prikazuje da je $\frac{f(a)+f(b)}{2}$ srednjica, a $b-a$ visina trapeza
\end{document}
Antwort1
Es scheint, Sie bereiten einen Artikel über numerische Methoden vor. Das Problem, das all die Schwierigkeiten verursacht, scheint in Zeile 60 bis Zeile 62 zu liegen:
\begin{align*}
I(f) = \I_m(f)+\E_m(f)\\,
\end{align*}
Der Operator "\" ist (soweit ich weiß) der Anfang wahrscheinlich aller TeX-Befehle, und ihn hier hinzuzufügen, wäre möglicherweise problematisch gewesen. Die Änderung in die folgende Form scheint funktioniert zu haben. Das beigefügte Bild ist ein Screenshot nach der Kompilierung.
\begin{align*}
I(f) = I_m(f)+E_m(f)\\,
\end{align*}