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Kreis aus sich kreuzenden Kugeln

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Kreis aus sich kreuzenden Kugeln

Ich versuche, ein Diagramm in der Art des folgenden zu erstellen:

  • 2 sich schneidende Kugeln mit Mittelpunkten von x und y
  • Der Mittelpunkt ist (x+y)/2 und von jedem Mittelpunkt zum Mittelpunkt ist d/2
  • Der Abstand von den Mittelpunkten zum Schnittpunkt beträgt r

Ich möchte zeigen, dass alle Schnittpunkte der beiden Kugeln auf einer Ebene liegen, die senkrecht auf der Verbindungslinie der Mittelpunkte steht, dass die Ebene durch den Mittelpunkt verläuft und dass alle Schnittpunkte der beiden Kugeln einen Kreis bilden.

Nun könnte ich das eigentlich einigermaßen hinbekommen, wenn ich es einfach in 2D machen würde (statt Paint würde ich Tikz verwenden), aber ich frage mich, ob man es in 3D machen könnte, ohne dass es zu unruhig wirkt.

1

Bisher habe ich mit Hilfe von Schrödingers Katze Folgendes hinbekommen (aber ich werde daran arbeiten, da dies das erste 3D-TikZ ist, das ich zu erstellen versucht habe):

\documentclass[tikz,border=3mm]{standalone} \usepackage{tikz-3dplot-circleofsphere} 
\begin{document} 
\tdplotsetmaincoords{70}{200}
\begin{tikzpicture}[tdplot_main_coords,declare function={d=4;R=2.5;}]
\path (0,0,0) coordinate (x) (d,0,0) coordinate (y);
\begin{scope}[tdplot_screen_coords] 
\path[ball color=blue,opacity=0.3] (x) circle[radius=R*1cm]; 
\path[ball color=blue,opacity=1.0] (x) circle[radius=R*0.02cm]; 
\path[ball color=red,opacity=0.3] (y) circle[radius=R*1cm]; 
\path[ball color=red,opacity=1.0] (y) circle[radius=R*0.02cm]; 
\node(draw) at (0.5,0,0) {y};
\node(draw) at (-4.2,0.5,0) {x};
\node(draw) at (-1.8,2,0) {z};
\draw[black, ultra thick] (x) -- (y);
\draw[blue, ultra thick] (x) -- (-1.7,1.7);
\draw[red, ultra thick] (y) -- (-1.7,1.7);
\end{scope} 
\tdplotCsDrawCircle[tdplotCsFront/.style={thick}]{R}{0}{90}{90-atan2(sqrt(R*R-d*d/4),d/2)} 
\end{tikzpicture} 
\end{document}

Antwort1

Dies ist mein ausformulierter Kommentar mit einigen zusätzlichen Zutaten, die Ihren eigenen Ergänzungen ähneln. Dieser Code basiert auf tikz-3dplot-circleofsphere, das zu finden istHier.

\documentclass[tikz,border=3mm]{standalone} 
\usepackage{tikz-3dplot-circleofsphere} 
\begin{document} 
\tdplotsetmaincoords{70}{200}
\begin{tikzpicture}[tdplot_main_coords,declare function={d=4;R=2.5;}]
  \path (0,0,0) coordinate[label=right:$x$] (x) 
      (d,0,0) coordinate[label=left:$y$] (y)
      (d/2,0,{sqrt(R*R-d*d/4)}) coordinate[label=above:$z$] (z);
  \draw[black, ultra thick] (y) -- (d/2,0,0);
  \draw[red, ultra thick] (y) -- (z);   
  \tdplotCsDrawCircle[tdplotCsFront/.style={draw=none,fill=gray,fill opacity=0.7},
      tdplotCsBack/.style={thin,gray,fill=gray,fill opacity=0.7}]{R}{0}{90}{90-atan2(sqrt(R*R-d*d/4),d/2)} 
  \draw[black, ultra thick] (x) -- (d/2,0,0);
  \draw[blue, ultra thick] (x) -- (z);
  \fill foreach \X in {x,y,z} {(\X) circle[radius=1.2pt]};
  \begin{scope}[tdplot_screen_coords] 
    \path[ball color=blue,opacity=0.6] (x) circle[radius=R*1cm]; 
    \path[ball color=red,opacity=0.6] (y) circle[radius=R*1cm]; 
  \end{scope} 
  \tdplotCsDrawCircle[tdplotCsFront/.style={thick},
      tdplotCsBack/.style={draw=none}]{R}{0}{90}{90-atan2(sqrt(R*R-d*d/4),d/2)} 
\end{tikzpicture} 
\end{document}

Bildbeschreibung hier eingeben

Antwort2

Dies ist keine Antwort. Ich möchte zeigen, wie man den Kreis als Schnittpunkt zweier Kugeln zeichnet, basierend auf derAntwort hier.

Ich wähle zwei Kugeln mit Gleichungen (x - 3)^2 + (y + 4)^2 + z^2 = 64und (x - 3)^2 + (y - 2)^2 + (z - 8)^2 = 36. Mein Code

\documentclass[tikz,border=2mm, 12 pt]{standalone}
\usepackage{tikz-3dplot-circleofsphere}
\usetikzlibrary{3dtools} 
\begin{document}
\tdplotsetmaincoords{70}{100}
\begin{tikzpicture}[scale=1,tdplot_main_coords,declare function={R=8;R1=6;
}]
\path (3,-4,8) coordinate (A)
({(9-sqrt(95))/3},8/3,3) coordinate (B)
({(9+sqrt(95))/3},8/3,3) coordinate (C)
(3,2,8) coordinate (T)
(3,-4,0) coordinate (I);
\begin{scope}[tdplot_screen_coords]
 \fill[ball color=red,opacity=0.6] (I) circle (R);
 \fill[ball color=green!50, opacity=1.0] (T) circle (R1);
\end{scope}
\foreach \p in {A,B,C,I,T}
\draw[fill=black] (\p) circle (1.5pt);
\foreach \p/\g in {A/90,C/-90,B/-90,I/-90,T/90}
\path (\p)+(\g:3mm) node{$\p$};
\pic[draw=none]{3d circle through 3 points={A={(A)},B={(B)},C={(C)}}};
\begin{scope}[shift={(T)}]
\path[overlay] [3d coordinate={(myn)=(A)-(B)x(A)-(C)},
3d coordinate={(A-M)=(A)-(M)}];
\pgfmathsetmacro{\myaxisangles}{axisangles("(myn)")}
\pgfmathsetmacro{\myalpha}{{\myaxisangles}[0]}
\pgfmathsetmacro{\mybeta}{{\myaxisangles}[1]}
\pgfmathsetmacro{\mygamma}{acos(sqrt(TD("(A-M)o(A-M)"))/R1)}
\tdplotCsDrawCircle[tdplotCsFront/.style={thick,red}]{R1}{\myalpha}{\mybeta}{\mygamma}  
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{document}

Bildbeschreibung hier eingeben

Antwort3

Hier ist die Lösung für den allgemeinen Fall, wenn 2 möglicherweise unterschiedliche Radien vorliegen. Zuerst berechnen wir wie in der planaren Figur

Bildbeschreibung hier eingeben

// http://asymptote.ualberta.ca/
usepackage("ragged2e"); // for justify command
usepackage("amsmath");
unitsize(7mm);
real r=4.2, s=3; // two radii
real c=5;     // distance of two centers
pair A=(0,0), B=c*dir(0);   //two centers 
pair M=intersectionpoints(circle(A,r),circle(B,s))[0];
real dAH=(c^2+r^2-s^2)/(2*c);
real h=sqrt(r^2-dAH^2);
pair H=A+dAH*unit(B-A);
draw(Label("$h$",align=W),M--H,magenta);
draw(Label("$r$",align=NW),A--M,red);
draw(Label("$s$",align=NE),B--M,blue);

draw(circle(A,r),red);
draw(circle(B,s),blue);

dot(H^^M,magenta);

dot("$A$",A,SW);
dot("$B$",B,SE);
label("$M$",M+.5dir(80),magenta);
label("$H$",H,S,magenta);
draw(Label("$c$"),A--B);

string explanation=minipage("\justify{
By the law of cosines for the triangle $AMH$, we have
$$AH=r \cos A=\dfrac{c^2+r^2-s^2}{2c}.$$
Hence, the radius of the intersecting circle is
$$h=\sqrt{r^2-AH^2}.$$
}",7cm);
label(explanation,point(E)+(6,0),Fill(3mm,lightyellow));

shipout(bbox(5mm,invisible));

Und jetzt werden die Dinge in 3D übersetzt, anders alshttps://tex.stackexchange.com/a/121900/140722. Das Modul graph3dient einer besseren Genauigkeit des Schnittkreises Circle(H,h,normal=B-A).

Bildbeschreibung hier eingeben

// http://asymptote.ualberta.ca/ 
unitsize(1cm);
//import math;
//import three;
import graph3; // implicitly import math and three;

real r=3.5, s=4; // two radii
real c=5;     // distance of two centers
triple A=(0,0,0), B=c*dir(90,90);   //two centers 
surface sphAr=shift(A)*scale3(r)*unitsphere;
surface sphBs=shift(B)*scale3(s)*unitsphere;

draw(sphAr,red+opacity(.2));
draw(sphBs,blue+opacity(.2));
real dAH=(c^2+r^2-s^2)/(2*c);
real h=sqrt(r^2-dAH^2);
triple H=A+dAH*unit(B-A);
draw(Circle(H,h,normal=B-A),magenta+1pt);
dot(H,magenta);

dot("$A$",A,W);
dot("$B$",B);
draw(A--B);
//axes3("$x$","$y$","$z$");

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