Lesezeichen, Inhaltsverzeichnis und Kopfzeile zeigen die richtige Nummerierung von Kapitel, Abschnitt und Unterabschnitt

Lesezeichen, Inhaltsverzeichnis und Kopfzeile zeigen die richtige Nummerierung von Kapitel, Abschnitt und Unterabschnitt

Mein kleines Testbeispiel sieht wie folgt aus

\documentclass[12pt]{book}

\usepackage{lipsum}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    bookmarksnumbered=true,
    bookmarksopen=true,
    bookmarksdepth=2,
}

\setcounter{secnumdepth}{3} % ch=0,sec=1,subsec=2,subsubsec=3
\setcounter{tocdepth}{2}

\renewcommand{\chaptername}{} %% remove the word \chapter
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\chapter}[hang]
    {\LARGE\bfseries}{Lec~\arabic{chapter}~~}{0pt}{\LARGE\bfseries}
\titleformat{\section}
    {\normalfont\Large\bfseries\filcenter}{\S~\thesection}{1em}{}
\titleformat{\subsection}{\normalfont\large\bfseries}{\Roman{subsection}.}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[runin]{\normalfont\large\bfseries}
    {\arabic{chapter}.\arabic{section}.\arabic{subsubsection}}{1em}{}

\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancy}

\begin{document}

\tableofcontents

\chapter{Water}
\lipsum[1]
\section{Ocean}
\subsection{River}
\lipsum[1]
\subsubsection{Pond}
\lipsum[1-3]
\subsubsection{Brook}
\lipsum[1-3]

\chapter{Whale}
\lipsum[1]
\section{Shark}
\subsection{Carp}
\lipsum[1]
\subsubsection{Shrimp}
\lipsum[1-3]
\subsubsection{Crab}
\lipsum[1-3]

\end{document}

Wie Sie sehen, möchte ich die Nummerierung von Ch, Sec und Subsec wie folgt ändern:

Lec 1
    SS 1.1
        I
        II
        III
        ...
    SS 1.2
        I
        II
        III
        ...
    ...
Lec 2
    SS 2.1
        I
        II
        III
        ...
    SS 2.2
        I
        II
        III
        ...
    ...
...

Sie werden im Text präzise dargestellt. Allerdings aktualisieren Lesezeichen, Inhaltsverzeichnis und Fancy-Header die entsprechende Nummerierung nicht automatisch und zeigen einfach etwas wie

1
    1.1
        1.1.1
2
    2.1
        2.1.1

Wie kann ich diese Probleme beheben?

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