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Formatverbesserung für die schrittweise Lösung kubischer Gleichungen

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Formatverbesserung für die schrittweise Lösung kubischer Gleichungen

In \amsmathund \taskswird der schrittweise Lösungsprozess zum Finden der 3 Wurzeln einer kubischen Gleichung bereitgestellt.

Bitten Sie um Unterstützung bei zwei Problemen:

  1. Verringern Sie den horizontalen Abstand zwischen den beiden Kubikwurzeln in jedem Problem auf ca. 2–3 mm:

Bildbeschreibung hier eingeben

  1. Fügen Sie Hinweise ein (linke und rechte Spalte), um den ersten Faktor zu identifizieren, der eine Wurzel ergibt.fett den gelb hervorgehobenen Faktor.

Bildbeschreibung hier eingeben

Vielen Dank! mwe unten

\documentclass[12pt]{exam}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{framed} %box para
\usepackage{multicol}
\usepackage{tasks}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[margin=0.5in]{geometry}

%\usepackage{bm}%bold equation
\setlength{\parindent}{0pt} % removes paragraph indentation

\pagestyle{head}
\header{Algegra II: Assignment: 10-C Solving Polynomial Equations}
       {}
       {Due 03/12/2023} 

\newcommand{\pagetop}{%
  %\makebox[\textwidth]%{Name:\enspace\hrulefill}\par
  \vspace{4mm}
  \fbox{\fbox{\parbox{\dimexpr\textwidth-4\fboxsep-4\fboxrule}{
    \textbf {Solve each polynomial equation by factoring. Find all real and/or  imaginary/complex roots. Simplify answers.}
    %\par
    %\bigskip

  }}}\par
  \vspace{0.5mm}
}
\setlength{\jot}{1em}
%define highlighting

\newcommand{\hll}[1]{\colorbox{yellow}{$\displaystyle #1$}}

\begin{document}
\pagetop

\settasks{
    after-item-skip=3em,    after-skip=2cm,
    label-width=2em,
    item-indent=3em,
    label=(\arabic*),
    column-sep=2em
}
\begin{tasks}(2)
%Prob #1
\task \(\begin{aligned}[t]
&x^3-216=0 \\
& \hspace{2em}\begin{aligned}[t]
&\sqrt[3]{x^3} =3
&\sqrt[3]{216} =6\\
&\hll {(x-6)}(x^2+6x+6^2)\\
&\hll{(x-6)}(x^2+6x+36)\\
&a = 1; b = 6; c = 36\\
&x=\frac{-(b)\pm\sqrt{(b^2)-4(a)(c)}}{2(a)}\\
&x=\frac{-(6)\pm\sqrt{(6^2)-4(1)(36)}}{2(1)}\\
&x=\frac{-6\pm\sqrt{-144}}{2}\\
&x=\frac{-(6)\pm\sqrt{(6^2)-4(1)(36)}}{2(1)}\\
&x=\frac{-6\pm\sqrt{-108}}{2}\\
&x=\frac{-6\pm 6i\sqrt{3}}{2}\\
&x=\frac{2(-3\pm 3i\sqrt{3})}{2}\\
&x=\-3\pm 3i\sqrt{3}&x=6\\
\end{aligned}
\end{aligned}\)
%Problem #2
\task \(\begin{aligned}[t]
&8x^3 +125 \\
& \hspace{2em}\begin{aligned}[t]
&\sqrt[3]{8x^3} =2x
&\sqrt[3]{125} =5\\
&\hll{(2x+5)}(4x^2-10x+5^2)\\
&\hll{(2x+5)}(4x^2-10x+25)\\
&a = 4; b = -10; c = 25\\
&x=\frac{-(b)\pm\sqrt{(b^2)-4(a)(c)}}{2(a)}\\
&x=\frac{-(-10)\pm\sqrt{(-10^2)-4(4)(25)}}{2(4)}\\
&x=\frac{10\pm\sqrt{-300}}{8}\\
&x=\frac{10\pm 10i\sqrt{3}}{8}\\
&x=\frac{2(5\pm 5i\sqrt{3})}{8}\\
&x=\frac{5\pm 5i\sqrt{3})}{4}&x=-\frac{-5}{2}\\
\end{aligned}
\end{aligned}\)
%Problem #3

\end{tasks}
\end{document}```

Antwort1

Gehen wir in Teilen vor:

  1. Für eine einfache Abstandseinstellung können wir den Befehl verwenden \quadoder \qquadum eine gewisse Standardisierung des Abstands beizubehalten. In Ihrem Fall \qquadist die Verwendung das Beste.

  2. Um die gelbe Box mit einem Warnfeld zu erstellen, habe ich einen neuen Befehl erstellt, der zwei Einträge zuweist: \callout{#1}{#2}. Der erste Eintrag #1ist der Term der Gleichung, der gelb hervorgehoben wird, während der zweite Eintrag #2der Rest der Gleichung ist, der nicht hervorgehoben wird. Ein wichtiger Kommentar ist die Notwendigkeit einer Anweisung, in diesem Fall [2.2em]vor dem Zeilenumbruch. Dies wird durch ein Beispiel klarer.

Pakete

\documentclass[12pt]{exam}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{framed} % box para
\usepackage{multicol}
\usepackage{tasks}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[margin=0.5in]{geometry}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{shapes.callouts} % To create the call out boxes

Das neue Kommando

\newcommand*{\callout}[2]{\hspace{-5em}
\tikz[baseline=(X)] \node[shape = rectangle callout, 
    fill=white, 
    draw= black, 
    minimum width=4.5em,
    rounded corners,
    callout relative pointer={(+0.55,-0.45)}, 
    font = {\sffamily},
    ] (X) {${\scriptsize\begin{matrix}\textrm{1st root/} \\ \textrm{solution}\end{matrix}}$};%
\tikz[baseline=(X.base)] \node[rectangle, fill=yellow, inner sep=1mm] (Y) at ([yshift = -2.2em]X) {$#1$};%
\tikz[baseline=(X.base)] \node[] at (Y.east) {$#2$};%
 }

Der neue Befehl ohne vertikale Abstandsanweisung

 \begin{tasks}(2)
 % Problem 1:
 \task \(
 \begin{aligned}[t]
    & x^3-216 = 0 \\
    & \hspace{2em}
    \begin{aligned}[t]
        & \sqrt[3]{x^3} = 3 \qquad \sqrt[3]{216} = 6 \\
        & \hll{(x-6)}(x^2+6x+6^2) \\%[-2.2em]
        % Do not space here:        ^
        & \callout{(x-6)}{(x^2+6x+36)} \\
    \end{aligned}
 \end{aligned}
 \)
 \end{tasks}

Mit diesem Code enthält die Ausgabe folgende Leerzeichen: Bildbeschreibung hier eingeben

Der neue Befehl innerhalb der vertikalen Abstandsanweisung

Aber wenn wir diese Anweisungen einbeziehen:

 \begin{tasks}(2)
 % Problem 1:
 \task \(
 \begin{aligned}[t]
    & x^3-216 = 0 \\
    & \hspace{2em}
    \begin{aligned}[t]
        & \sqrt[3]{x^3} = 3 \qquad \sqrt[3]{216} = 6 \\
        & \hll{(x-6)}(x^2+6x+6^2) \\[-2.2em]
        % Do not space here:        ^
        & \callout{(x-6)}{(x^2+6x+36)} \\
    \end{aligned}
 \end{aligned}
 \)
 \end{tasks}

Wir erhalten dies: Bildbeschreibung hier eingeben

Ein kleiner Kommentar zu diesem neuen Befehl

Ich habe einen Kommentar hinzugefügt, dass zwischen dem Doppelstrich \\und der Anweisung kein Leerzeichen [-2.2em]gesetzt werden soll, da diese Anweisung mit diesem Leerzeichen nicht funktioniert.

Der komplette Code

Abschließend werde ich den gesamten Code und die jeweilige Ausgabe veröffentlichen:

\documentclass[12pt]{exam}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{framed} %box para
\usepackage{multicol}
\usepackage{tasks}
\usepackage{xcolor}
\usepackage[margin=0.5in]{geometry}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{shapes.callouts}

\newcommand*{\callout}[2]{\hspace{-5em}
    \tikz[baseline=(X)] \node[shape = rectangle callout, 
        fill=white, 
        draw= black, 
        minimum width=4.5em,
        rounded corners,
        callout relative pointer={(+0.55,-0.45)}, 
        font = {\sffamily},
        ] (X) {${\scriptsize\begin{matrix}\textrm{1st root/} \\ \textrm{solution}\end{matrix}}$};%
    \tikz[baseline=(X.base)] \node[rectangle, fill=yellow, inner sep=1mm] (Y) at ([yshift = -2.2em]X) {$#1$};%
    \tikz[baseline=(X.base)] \node[] at (Y.east) {$#2$};%
}

%\usepackage{bm}%bold equation
\setlength{\parindent}{0pt} % removes paragraph indentation

\pagestyle{head}
\header{Algebra II: Assignment: 10-C Solving Polynomial Equations}
       {}
       {Due 03/12/2023} 

\newcommand{\pagetop}{%
  %\makebox[\textwidth]%{Name:\enspace\hrulefill}\par
  \vspace{4mm}
  \fbox{\fbox{\parbox{\dimexpr\textwidth-4\fboxsep-4\fboxrule}{
    \textbf {Solve each polynomial equation by factoring. Find all real and/or  imaginary/complex roots. Simplify answers.}
    %\par
    %\bigskip

  }}}\par
  \vspace{0.5mm}
}
\setlength{\jot}{1em}
%define highlighting

\newcommand{\hll}[1]{\colorbox{yellow}{$\displaystyle #1$}}

\begin{document}
\pagetop

\settasks{
    after-item-skip=3em,    after-skip=2cm,
    label-width=2em,
    item-indent=3em,
    label=(\arabic*),
    column-sep=2em
}

\begin{tasks}(2)
    % Problem 1:
    \task \(
    \begin{aligned}[t]
        & x^3-216 = 0 \\
        & \hspace{2em}
        \begin{aligned}[t]
            & \sqrt[3]{x^3} = 3 \qquad \sqrt[3]{216} = 6 \\
            & \hll{(x-6)}(x^2+6x+6^2) \\[-2.2em]
            % Do not space here:        ^
            & \callout{(x-6)}{(x^2+6x+36)} \\
            & a = 1; b = 6; c = 36 \\
            & x = \frac{-(b)\pm\sqrt{(b^2)-4(a)(c)}}{2(a)} \\
            & x = \frac{-(6)\pm\sqrt{(6^2)-4(1)(36)}}{2(1)} \\
            & x = \frac{-6\pm\sqrt{-144}}{2} \\
            & x = \frac{-(6)\pm\sqrt{(6^2)-4(1)(36)}}{2(1)} \\
            & x = \frac{-6\pm\sqrt{-108}}{2} \\
            & x = \frac{-6\pm 6i\sqrt{3}}{2} \\
            & x = \frac{2(-3\pm 3i\sqrt{3})}{2} \\
            & x = \-3\pm 3i\sqrt{3} \qquad x=6 \\
        \end{aligned}
    \end{aligned}
    \)
    % Problem #2
    \task 
    \(\begin{aligned}[t]
        & 8x^3 +125 \\
        & \hspace{2em}
        \begin{aligned}[t]
            & \sqrt[3]{8x^3} = 2x \qquad \sqrt[3]{125} = 5 \\
            & \hll{(2x+5)}(4x^2-10x+5^2) \\[-2.2em]
            & \callout{(2x+5)}{(4x^2-10x+25)} \\
            & a = 4; b = -10; c = 25 \\
            & x = \frac{-(b)\pm\sqrt{(b^2)-4(a)(c)}}{2(a)} \\
            & x = \frac{-(-10)\pm\sqrt{(-10^2)-4(4)(25)}}{2(4)} \\
            & x = \frac{10\pm\sqrt{-300}}{8} \\
            & x = \frac{10\pm 10i\sqrt{3}}{8} \\
            & x = \frac{2(5\pm 5i\sqrt{3})}{8} \\
            & x = \frac{5\pm 5i\sqrt{3})}{4} \qquad x=-\frac{-5}{2} \\
        \end{aligned}
    \end{aligned}
    \)
    % Problem 3
\end{tasks}

\end{document}

![Bildbeschreibung hier eingeben

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