Ich versuche, eine Tabelle in der tabellarischen Umgebung zu zeichnen, aber vergebens. Die Tabelle ist zu klein und die Schriftgröße auch. Ich versuche, eine größere Tabelle zu erstellen, indem ich das ganze Papier verwende. Für jede Hilfe bin ich sehr dankbar. Ich erhalte das folgende Ergebnis:
und das ist mein Code:
\documentclass[11pt,a4paper]{book}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage{palatino}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{dsfont}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{systeme}
\everymath{\displaystyle}
\allowdisplaybreaks
\usepackage{float}
\usepackage[right=2cm,left=2cm,top=2cm,bottom=2cm]{geometry}
\usepackage[Conny]{fncychap}
\begin{document}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$\mathbf{N}^{\circ}$ & Notion définie & Définition \\
\hline
D 5.1 & \begin{tabular}{l}
Produit scalaire dans un \\
espace préhilbertien \\
\end{tabular} & \begin{tabular}{l}
$H$ espace vectoriel complexe muni du produit \\
scalaire \textbackslash langle\textbackslash rangle , application $\{H \times H \rightarrow \mathbb{C},(x, y) \mapsto\langle x, y\rangle\}$, \\
vérifiant \\
(i) $\forall x \in H,\langle x, x\rangle \geq 0$ \\
(ii) $\forall x, y \in H, \forall \lambda \in \mathbb{C},\langle x+\lambda y, z\rangle=\langle x, z\rangle+\lambda\langle y, z\rangle$ \\
(iii) $\forall x, y \in H,\langle y, x\rangle=\overline{\langle x, y\rangle}$ (complexe conjugué de \\
$\quad\langle x, y\rangle)$ \\
(iv) $[\langle x, x\rangle=0] \Leftrightarrow[x=0]$. \\
\end{tabular} \\
\hline
D 5.2 & \begin{tabular}{l}
Norme || || associée au produit \\
scalaire \\
\end{tabular} & $\|x\|=\langle x, x\rangle^{1 / 2}$ pour $H$ selon (D 5.1). \\
\hline
D 5.3 & Espace de Hilbert $H$ & \begin{tabular}{l}
Espace préhilbertien $H$ selon (D 5.1), de Banach \\
(D 1.7) pour la norme associée. \\
\end{tabular} \\
\hline
D 5.4 & $x$ et $y$ orthogonaux, $x \perp y$ & $H$ préhilbertien, $x, y \in H,\langle x, y\rangle=0$. \\
\hline
D 5.5 & \begin{tabular}{l}
Sous-ensembles $M$ et $N$ \\
orthogonaux, $M \perp N$ \\
\end{tabular} & \begin{tabular}{l}
$H$ espace préhilbertien, $M \subset H, N \subset H$, \\
$\forall x \in M, \forall y \in N,\langle x, y\rangle=0$. \\
\end{tabular} \\
\hline
D 5.6 & $M$ orthogonal, $M^{\perp}$ & \begin{tabular}{l}
$H$ espace préhilbertien, $M \subset H$, \\
$M^{\perp}=\{y \in H ; \forall x \in M,\langle x, y\rangle=0\}$. \\
\end{tabular} \\
\hline
D 5.7 & \begin{tabular}{l}
$M$ et $N$ supplémentaires \\
orthogonaux dans $H, H=M \oplus N$ \\
ou $M \oplus^{\perp} N$ somme directe \\
orthogonale \\
\end{tabular} & \begin{tabular}{l}
$H$ est un espace de Hilbert, $M$ et $N$ sont deux \\
sous-espaces fermés de $H$ orthogonaux entre eux, \\
$H=M \oplus N$, on note aussi $H=M \oplus^{\perp} N$, la norme sur \\
$H$ est équivalente à celle fixée dans (D 1.12). \\
\end{tabular} \\
\hline
D 5.8 & \begin{tabular}{l}
Projection orthogonale $y$ de $x$ \\
sur $M, y=P_{M X}$ \\
\end{tabular} & \begin{tabular}{l}
$H$ espace préhilbertien, $M$ sous-espace vectoriel \\
complet de $H, x \in H$ \\
Pour $H=M \oplus^{\perp} N$, selon (D 5.7), \\
$x=y+z, y \in M, z \in N$. \\
\end{tabular} \\
\hline
D 5.9 & Ensemble orthogonal $J$ & \begin{tabular}{l}
$H$ espace préhilbertien, $J \subseteq H$, \\
$\forall x, y \in J, x \neq y$, on $a\langle x, y\rangle=0$. \\
\end{tabular} \\
\hline
D 5.10 & \begin{tabular}{l}
Ensemble orthonormal J \\
(ou orthonormé) \\
\end{tabular} & \begin{tabular}{l}
$H$ espace préhilbertien, $J \subseteq H, J$ orthogonal et \\
$\forall x \in J,\|x\|=1$. \\
\end{tabular} \\
\hline
D 5.11 & Ensemble total $J$ & \begin{tabular}{l}
$H$ espace de Hilbert, $J \subseteq H$, \\
Vect $(J)$, sous-espace vectoriel fermé engendré par \\
$J$, est $H$ entier. \\
\end{tabular} \\
\hline
D 5.12 & Base orthonormale $B$ & \begin{tabular}{l}
$H$ espace de Hilbert, $B$ ensemble orthonormal et \\
total. \\
\end{tabular} \\
\hline
D 5.13 & Espace de Hilbert séparable & \begin{tabular}{l}
$H$ espace de Hilbert, \\
il existe une base orthonormale $B$ au plus \\
dénombrable. \\
\end{tabular} \\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$\mathbf{N}^{\circ}$ & Désignation & Énoncé \\
\hline
P 5.1 & \begin{tabular}{l}
Le fameux théorème de \\
Pythagore \\
\end{tabular} & \begin{tabular}{l}
$H$ espace préhilbertien, $x, y \in H$ \\
$[\langle x, y\rangle=0] \Rightarrow\left[\|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}\right]$. \\
\end{tabular} \\
\hline
P 5.2 & Règle du parallélogramme & \begin{tabular}{l}
$H$ espace préhilbertien, $x, y \in H$, \\
$\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}\right)$. \\
\end{tabular} \\
\hline
P 5.3 & Règle de polarisation & \begin{tabular}{l}
espace préhilbertien, $x, y \in H$ \\
$4\langle x, y\rangle=\sum \alpha\|x+\alpha y\|^{2} ; \alpha=1,-1, i,-i$. \\
\end{tabular} \\
\hline
P 5.4 & \begin{tabular}{l}
Inégalité de Schwarz \\
ou bien de Cauchy-Schwarz \\
\end{tabular} & \begin{tabular}{l}
espace préhilbertien, $\forall x, y \in H$, \\
$|\langle x, y\rangle| \leq\|x\|\|y\|$ \\
$[|\langle x, y\rangle|=\|x\|\|y\| \Leftrightarrow x$ et $y$ sont colinéaires $]$. \\
\end{tabular} \\
\hline
P 5.5 & Critère d'orthogonalité & \begin{tabular}{l}
H espace préhilbertien, \\
$[|\langle x, y\rangle|=0] \Leftrightarrow[\forall \lambda \in \mathbb{C},\|y\| \leq\|\lambda x+y\|]$. \\
\end{tabular} \\
\hline
P 5.6 & Continuité du produit scalaire & \begin{tabular}{l}
$H$ espace préhilbertien, I'application \\
$\{H \times H \rightarrow \mathbb{C},(x, y) \mapsto\langle x, y\rangle\}$ est continue. \\
\end{tabular} \\
\hline
P 5.7 & Théorème de Riesz & \begin{tabular}{l}
espace de Hilbert, \\
le dual $H^{*}$ de $H$ est isométriquement isomorphe à \\
$H$ par l'identification (antilinéaire) \\
$\left\{x^{*} \mapsto x, \forall y \in H,\left\langle y, x^{*}\right\rangle=(y \mid x)\right\}$. \\
\end{tabular} \\
\hline
P 5.8 & Théorème de la projection & \begin{tabular}{l}
H espace de Hilbert, $M$ sous-ensemble de $H$ \\
convexe et fermé, $\forall x \in H, \exists y \in M, y$ unique, tel \\
que $\|x-y\|=\inf (\|x-z\|, z \in M)$. \\
\end{tabular} \\
\hline
P 5.9 & Orthogonal & \begin{tabular}{l}
$H$ espace de Hilbert, $M$ sous-ensemble de $H, M^{\perp}$ \\
est un sous-espace fermé de $H$; \\
si $N=\overline{\operatorname{Vect}(M)}$, alors $N \cap M^{\perp}=\{0\}$. \\
\end{tabular} \\
\hline
P 5.10 & Somme directe orthogonale & \begin{tabular}{l}
espace de Hilbert, $M$ sous-espace vectoriel de $H$, \\
$\left(M^{\perp}\right)^{\perp}=\bar{M}, H=\bar{M} \oplus M^{\perp}$. \\
\end{tabular} \\
\hline
P 5.11 & \begin{tabular}{l}
(i) Inégalité de Bessel \\
(ii) Cas d'égalité dans Bessel \\
(iii) Identité de Parseval \\
\end{tabular} & \begin{tabular}{l}
Hilbert, $J=\left\{e_{n} ; n \in \mathbb{N}^{*}\right\}$ ensemble orthonormal \\
de $H, M=\overline{\operatorname{Vect}(J)}$ et $x \in H$ et $x_{n}=\left\langle x, e_{n}\right\rangle, n \in \mathbb{N}^{*}$. \\
(i) $\sum_{n=1}^{+\infty}\left|x_{n}\right|^{2} \leq\|x\|^{2}$ \\
(ii) $[x \in M] \Leftrightarrow\left[\|x\|^{2}=\sum_{n=1}^{+\infty}\left|x_{n}\right|^{2}\right]$ \\
(iii) $[J$ est une base orthonormale] $\Leftrightarrow$ \\
$\left[\forall x \in H, \sum_{n=1}^{+\infty}\left|x_{n}\right|^{2}=\|x\|^{2}\right]$. \\
\end{tabular} \\
\hline
P 5.12 & \begin{tabular}{l}
Caractérisation des bases or- \\
thonormales \\
\end{tabular} & \begin{tabular}{l}
H Hilbert, $J=\left\{e_{n} ; n \in \mathbb{N}^{*}\right\}$ ensemble orthonormal \\
de $H,[J$ base orthonormale $] \Leftrightarrow$ \\
$\left[\left\{\forall n,\left\langle x, e_{n}\right\rangle=0\right\} \Rightarrow\{x=0\}\right]$. \\
\end{tabular} \\
\hline
P 5.13 & Structure de $\ell^{2}$ & \begin{tabular}{l}
$\ell^{2}$, espace des suites de carré sommable. \\
$x=\left(x_{n} ; n \in \mathbb{N}^{*}\right)(D 1.15)$ \\
C'est un espace de Hilbert pour le produit scalaire \\
$\langle x, y\rangle=\sum_{n=+\infty}^{n=+\infty} x_{n} \overline{y_{n}}$ \\
$\left\{e_{n} ; n \in \mathbb{N}^{*}\right\}, e_{n}=\left(\delta_{n, 2}, p \in \mathbb{N}^{*}\right)$ est une base \\
orthonormale de $\ell^{2}$. \\
\end{tabular} \\
\hline
P 5.14 & \begin{tabular}{l}
Structure hilbertienne de \\
$L^{2}([-\pi,+\pi])$ \\
\end{tabular} & \begin{tabular}{l}
$L^{2}([-\pi,+\pi])$ (D 1.16) est un espace de Hilbert pour \\
le produit scalaire $\langle f, g\rangle=\int_{-\pi}^{+\pi} f(x) \overline{g(x)} d x$, \\
$\left\{e_{n} ; n \in \mathbb{Z}, e_{n}(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp (\right.$ in $\left.x)\right\}$ est une base \\
orthonormale. \\
\end{tabular} \\
\hline
P 5.15 & Théorème de Gram-Schmidt & \begin{tabular}{l}
H espace de Hilbert, $\left\{g_{n} ; n \in \mathbb{N}^{*}\right\}$, système libre \\
dans $H$, alors $\exists J=\left\{e_{n} ; n \in \mathbb{N}^{*}\right\}$ \\
sous-ensemble orthonormal dans $H$ tel que \\
$\forall N \in \mathbb{N}^{*}, \operatorname{Vect}\left(e_{1}, \ldots, e_{N}\right)=\operatorname{Vect}\left(g_{1}, \ldots, g_{N}\right)$. \\
\end{tabular} \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{document}
Antwort1
Hm, Ihre Tabelle ist voller tabularUmgebungen, die nur störend wirken ... Entfernen Sie sie und verwenden Sie für die Spalten einen Typ, dem Sie Spaltenbreiten vorschreiben können.
Wie Sie bemerken, möchten Sie lange Tabellen haben. Unter den dafür vorgesehenen Pykages würde ich Folgendes verwenden, tabularrayda es einfachen Code und eine schönere Tabellenformatierung ermöglicht:
\documentclass[11pt,a4paper]{book}
\usepackage[margin=2cm]{geometry}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage[english]{babel}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{palatino}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{dsfont}
\usepackage{etoolbox} % for \ifblank
\usepackage{mathtools} % supersede of amsmath
\DeclarePairedDelimiter\abs{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiterX\norm[1]\lVert\rVert{\ifblank{#1}{{\cdot}}{#1}}
\DeclareMathOperator{\Vect}{Vect}
%\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsfonts}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{systeme}
\everymath{\displaystyle}
\allowdisplaybreaks
\usepackage{float}
\usepackage[Conny]{fncychap}
\usepackage{enumitem}
\AtBeginEnvironment{longtblr}%
{
\setlist[enumerate]{nosep, label=(\roman*)\ , leftmargin=*}
}
\usepackage{tabularray}
\UseTblrLibrary{counter,
varwidth}
\begin{document}
\begin{longtblr}[
caption = {Does it exist or the table is without of it?}
]{hlines, vlines,
colspec = {Q[l,h] X[l,m] X[2.5,l,m]},
colsep = 3pt,
cells = {font=\small},
row{1} = {c},
measure = vbox,
rowhead = 1}
% column headers
$\mathbf{N}^{\circ}$
& Notion définie & Définition \\
% table body
D 5.1 & Produit scalaire dans un espace préhilbertien
& $H$ espace vectoriel complexe muni du produit scalaire
\textbackslash langle \textbackslash rangle, application
$\{H\times H \to\mathbb{C},(x, y) \mapsto\langle x, y\rangle\}$,\par
vérifiant:
\begin{enumerate}
\item $\forall x \in H,\langle x, x\rangle \geq 0$
\item $\forall x, y \in H, \forall \lambda \in \mathbb{C},\langle x+\lambda y, z\rangle=\langle x, z\rangle+\lambda\langle y, z\rangle$
\item $\forall x, y \in H,\langle y, x\rangle=\overline{\langle x, y\rangle}$ (complexe conjugué de $\langle x, y\rangle)$
\item $[\langle x, x\rangle=0] \Leftrightarrow[x=0]$.
\end{enumerate}
\\
D 5.2 & Norme $\|$ $\|$ associée au produit scalaire
& $\norm{}$, $\norm{x}=\langle x, x\rangle^{1 / 2}$ pour $H$ selon (D 5.1).
\\
D 5.3 & Espace de Hilbert $H$
& Espace préhilbertien $H$ selon (D 5.1), de Banach (D 1.7) pour la norme associée. \\
D 5.4 & $x$ et $y$ orthogonaux, $x \perp y$
& $H$ préhilbertien, $x, y \in H,\langle x, y\rangle=0$.
\\
D 5.5 & Sous-ensembles $M$ et $N$ orthogonaux, $M \perp N$
& $H$ espace préhilbertien, $M \subset H, N \subset H$,
$\forall x \in M, \forall y \in N,\langle x, y\rangle=0$.
\\
D 5.6 & $M$ orthogonal, $M^{\perp}$
& $H$ espace préhilbertien, $M \subset H$,
$M^{\perp}=\{y \in H ; \forall x \in M,\langle x, y\rangle=0\}$.
\\
D 5.7 & $M$ et $N$ supplémentaires
orthogonaux dans $H, H=M \oplus N$
ou $M \oplus^{\perp} N$ somme directe
orthogonale
& $H$ est un espace de Hilbert, $M$ et $N$ sont deux
sous-espaces fermés de $H$ orthogonaux entre eux,
$H=M \oplus N$, on note aussi $H=M \oplus^{\perp} N$, la norme sur
$H$ est équivalente à celle fixée dans (D 1.12).
\\
D 5.8 & Projection orthogonale $y$ de $x$ sur $M, y=P_{M X}$
& $H$ espace préhilbertien, $M$ sous-espace vectoriel
complet de $H, x \in H$
Pour $H=M \oplus^{\perp} N$, selon (D 5.7),
$x=y+z, y \in M, z \in N$.
\\
D 5.9 & Ensemble orthogonal $J$
& $H$ espace préhilbertien, $J \subseteq H$,
$\forall x, y \in J, x \neq y$, on $a\langle x, y\rangle=0$.
\\
D 5.10 & Ensemble orthonormal $J$ (ou orthonormé)
& $H$ espace préhilbertien, $J \subseteq H, J$ orthogonal et
$\forall x \in J,\|x\|=1$.
\\
D 5.11 & Ensemble total $J$
& $H$ espace de Hilbert, $J \subseteq H$,
Vect $(J)$, sous-espace vectoriel fermé engendré par
$J$, est $H$ entier.
\\
D 5.12 & Base orthonormale $B$
& $H$ espace de Hilbert, $B$ ensemble orthonormal et
total.
\\
D 5.13 & Espace de Hilbert séparable
& $H$ espace de Hilbert, il existe une base orthonormale $B$ au plus
dénombrable.
\\
%%%% secondpart
\hline
P 5.1 & Le fameux théorème de Pythagore
& $H$ espace préhilbertien, $x, y \in H$
$[\langle x, y\rangle=0] \Rightarrow\left[\|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}\right]$.
\\
P 5.2 & Règle du parallélogramme
& $H$ espace préhilbertien, $x, y \in H$,
$\abs{x+y}^{2}+ \norm{x-y}^{2} = 2\left(\norm{x}^{2} + \norm{y}^{2}\right)$.
\\
P 5.3 & Règle de polarisation
& espace préhilbertien, $x, y \in H$ $4\langle x, y\rangle=\sum \alpha\norm{x+\alpha y}^{2} ; \alpha=1,-1, i,-i$.
\\
P 5.4 & Inégalité de Schwarz ou bien de Cauchy-Schwarz
& espace préhilbertien, $\forall x, y \in H$,
$\abs{\langle x, y\rangle} \leq\norm{x}\norm{y}$,
$[\abs{\langle x, y\rangle}=\norm{x}\norm{y} \Leftrightarrow x$ et $y$ sont colinéaires].
\\
P 5.5 & Critère d'orthogonalité
& H espace préhilbertien, $[\abs{\langle x, y\rangle}=0] \Leftrightarrow[\forall lambda \in \mathbb{C},\norm{y} \leq\norm{\lambda x+y}]$.
\\
P 5.6 & Continuité du produit scalaire
& $H$ espace préhilbertien, I'application
$\{H \times H \rightarrow \mathbb{C},(x, y) \mapsto\langle x, y\rangle\}$ est continue.
\\
P 5.7 & Théorème de Riesz
& space de Hilbert, le dual $H^{*}$ de $H$ est isométriquement isomorphe à
$H$ par l'identification (antilinéaire)
$\left\{x^{*} \mapsto x, \forall y \in H,\left\langle y, x^{*}\right\rangle=(y \mid x)\right\}$.
\\
P 5.8 & Théorème de la projection
& H espace de Hilbert, $M$ sous-ensemble de $H$ convexe et fermé, $\forall x \in H, \exists y \in M, y$ unique, tel que $\norm{x-y} =\inf (\norm{x-z}, z \in M)$.
\\
P 5.9 & Orthogonal
& $H$ espace de Hilbert, $M$ sous-ensemble de $H, M^{\perp}$ est un sous-espace fermé de $H$; si $N=\overline{\Vect(M)}$, alors $N \cap M^{\perp}=\{0\}$.
\\
P 5.10 & Somme directe orthogonale
& espace de Hilbert, $M$ sous-espace vectoriel de $H$,
$\left(M^{\perp}\right)^{\perp}=\bar{M}, H=\bar{M} \oplus M^{\perp}$.
\\
P 5.11 & \begin{enumerate}
\item Inégalité de Bessel
\item Cas d'égalité dans Bessel
\item Identité de Parseval
\end{enumerate}
& Hilbert, $J=\left\{e_{n} ; n \in \mathbb{N}^{*}\right\}$ ensemble orthonormal
de $H, M=\overline{\Vect(J)}$ et $x \in H$ et $x_{n}=\left\langle x, e_{n}\right\rangle, n \in \mathbb{N}^{*}$.
\begin{enumerate}
\item $\sum_{n=1}^{+\infty}\abs{x_{n}}^{2} \leq\norm{x}^{2}$
\item $[x \in M] \Leftrightarrow\left[\norm{x}^{2}=\sum_{n=1}^{+\infty}\abs{x_{n}}^{2}\right]$
\item $[J$ est une base orthonormale] $\Leftrightarrow$
$\left[\forall x \in H, \sum_{n=1}^{+\infty}\abs{x_{n}}^{2}=\|x\|^{2}\right]$. \\
\end{enumerate}
\\
P 5.12 & Caractérisation des bases othonormales
& H Hilbert, $J=\left\{e_{n} ; n \in \mathbb{N}^{*}\right\}$ ensemble orthonormal
de $H,[J$ base orthonormale $] \Leftrightarrow$
$\left[\left\{\forall n,\left\langle x, e_{n}\right\rangle=0\right\} \Rightarrow\{x=0\}\right]$.
\\
P 5.13 & Structure de $\ell^{2}$
& $\ell^{2}$, espace des suites de carré sommable.
$x=\left(x_{n} ; n \in \mathbb{N}^{*}\right)(D 1.15)$
C'est un espace de Hilbert pour le produit scalaire
$\langle x, y\rangle=\sum_{n\in\infty} x_{n} \overline{y_{n}}$
$\left\{e_{n} ; n \in \mathbb{N}^{*}\right\}, e_{n}=\left(\delta_{n, 2}, p \in \mathbb{N}^{*}\right)$ est une base
orthonormale de $\ell^{2}$.
\\
P 5.14 & Structure hilbertienne de $L^{2}([-\pi,+\pi])$
& $L^{2}([-\pi,+\pi])$ (D 1.16) est un espace de Hilbert pour le produit scalaire $\langle f, g\rangle=\int_{-\pi}^{+\pi} f(x) \overline{g(x)} d x$,
$\left\{e_{n} ; n \in \mathbb{Z}, e_{n}(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp(x)\right\}$ est une base
orthonormale.
\\
P 5.15 & Théorème de Gram-Schmidt
& H espace de Hilbert, $\left\{g_{n} ; n \in \mathbb{N}^{*}\right\}$, système libre dans $H$, alors $\exists J=\left\{e_{n} ; n \in \mathbb{N}^{*}\right\}$
sous-ensemble orthonormal dans $H$ tel que
$\forall N \in \mathbb{N}^{*}, \Vect\left(e_{1}, \ldots, e_{N}\right)=\Vect\left(g_{1}, \ldots, g_{N}\right)$.
\\
\end{longtblr}
\end{document}
In MWE verwende ich mathtoolsein Paket statt amsmath„add“, indem ich mathematische Trennzeichen \absund \normmathematische Operatoren definiere Vect. Mit ihnen ist der mathematische Ausdruck etwas kürzer und klarer (hoffentlich ersetze ich alle ihre Vorkommen).
Nachtrag:
Unter Berücksichtigung der Vorschläge und Anmerkungen von @Mico und @Pascal sollte Ihre Tabelle tatsächlich in zwei Teilen geschrieben werden, ohne „Gefängnis“-vertikale und horizontale Linien, und die Zeilen sollten automatisch nummeriert werden.
Verwenden Sie für die Trennzeichengrößen außerdem \bigl/\bigr\biggl/\biggr \left/\right, um deren horizontalen Abstand zu verbessern.instead of
Bearbeiten:
Durch das Entfernen von Leerzeichen \bottomrulezwischen den Tabellen werden beide Tabellen als eine lange Tabelle angezeigt:
\documentclass[11pt,a4paper]{book}
\usepackage[margin=2cm]{geometry}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage[english]{babel}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{palatino} % "palatino" package is going to be obsolete
%\usepackage{newpxtext,newpxmath} % you may consider to use this palatino clone
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{dsfont}
\usepackage{etoolbox} % for \ifblank
\usepackage{mathtools} % supersede of amsmath
\DeclarePairedDelimiter\abs{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiterX\norm[1]\lVert\rVert{\ifblank{#1}{{\cdot}}{#1}}
\DeclareMathOperator{\Vect}{Vect}
%\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsfonts} % loaded by amssymb
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{systeme}
\everymath{\displaystyle}
\allowdisplaybreaks
\usepackage{float}
\usepackage[Conny]{fncychap}
\usepackage{enumitem}
\AtBeginEnvironment{longtblr}%
{
\setlist[enumerate]{nosep, label=(\roman*)\ , leftmargin=*}
}
\usepackage{tabularray}
\UseTblrLibrary{booktabs,
varwidth}
\begin{document}
\noindent\begin{tblr}{colspec = {@{} Q[l] X[l] X[2.5,l] @{}},
cells = {font=\small},
cell{2-Z}{1} = {cmd=D 5.\the\numexpr\arabic{rownum}-1.},
row{1} = {c},
rowsep = 5pt,
stretch = -1,
measure = vbox}
% column headers
\toprule
\No{} & Notion définie & Définition \\
\midrule
% table body
& Produit scalaire dans un espace préhilbertien
& $H$ espace vectoriel complexe muni du produit scalaire
\textbackslash langle \textbackslash rangle, application
$\{H\times H \to\mathbb{C},(x, y) \mapsto\langle x, y\rangle\}$,\par
vérifiant:
\begin{enumerate}
\item $\forall x \in H,\langle x, x\rangle \geq 0$
\item $\forall x, y \in H, \forall \lambda \in \mathbb{C},\langle x+\lambda y, z\rangle=\langle x, z\rangle+\lambda\langle y, z\rangle$
\item $\forall x, y \in H,\langle y, x\rangle=\overline{\langle x, y\rangle}$ (complexe conjugué de $\langle x, y\rangle)$
\item $[\langle x, x\rangle=0] \Leftrightarrow[x=0]$.
\end{enumerate}
\\
& Norme $\|$ $\|$ associée au produit scalaire
& $\norm{x}=\langle x, x\rangle^{1 / 2}$ pour $H$ selon (D 5.1).
\\
& Espace de Hilbert $H$
& Espace préhilbertien $H$ selon (D 5.1), de Banach (D 1.7) pour la norme associée. \\
& $x$ et $y$ orthogonaux, $x \perp y$
& $H$ préhilbertien, $x, y \in H,\langle x, y\rangle=0$.
\\
& Sous-ensembles $M$ et $N$ orthogonaux, $M \perp N$
& $H$ espace préhilbertien, $M \subset H, N \subset H$,
$\forall x \in M, \forall y \in N,\langle x, y\rangle=0$.
\\
& $M$ orthogonal, $M^{\perp}$
& $H$ espace préhilbertien, $M \subset H$,
$M^{\perp}=\{y \in H ; \forall x \in M,\langle x, y\rangle=0\}$.
\\
& $M$ et $N$ supplémentaires
orthogonaux dans $H, H=M \oplus N$
ou $M \oplus^{\perp} N$ somme directe
orthogonale
& $H$ est un espace de Hilbert, $M$ et $N$ sont deux
sous-espaces fermés de $H$ orthogonaux entre eux,
$H=M \oplus N$, on note aussi $H=M \oplus^{\perp} N$, la norme sur
$H$ est équivalente à celle fixée dans (D 1.12).
\\
& Projection orthogonale $y$ de $x$ sur $M, y=P_{M X}$
& $H$ espace préhilbertien, $M$ sous-espace vectoriel
complet de $H, x \in H$
Pour $H=M \oplus^{\perp} N$, selon (D 5.7),
$x=y+z, y \in M, z \in N$.
\\
& Ensemble orthogonal $J$
& $H$ espace préhilbertien, $J \subseteq H$,
$\forall x, y \in J, x \neq y$, on $a\langle x, y\rangle=0$.
\\
& Ensemble orthonormal $J$ (ou orthonormé)
& $H$ espace préhilbertien, $J \subseteq H, J$ orthogonal et
$\forall x \in J,\|x\|=1$.
\\
& Ensemble total $J$
& $H$ espace de Hilbert, $J \subseteq H$,
Vect $(J)$, sous-espace vectoriel fermé engendré par
$J$, est $H$ entier.
\\
& Base orthonormale $B$
& $H$ espace de Hilbert, $B$ ensemble orthonormal et
total.
\\
& Espace de Hilbert séparable
& $H$ espace de Hilbert, il existe une base orthonormale $B$ au plus
dénombrable.
\\
\end{tblr}
\vspace{-1.2\baselineskip}
\begingroup
\DefTblrTemplate{firsthead, middlehead,lasthead}{default}{} % <---
\SetTblrStyle{foot}{font=\itshape\footnotesize}
\begin{longtblr}{colspec = {@{} Q[l] X[l] X[2.5,l] @{}},
cells = {font=\small},
cell{2-Z}{1} = {cmd=P 5.\the\numexpr\arabic{rownum}-1.},
row{1} = {c},
row{2-Y}= {rowsep = 5pt},
stretch = -1,
measure = vbox,
rowhead = 1}
% column headers
\toprule
\No{} & Désignation & Énoncé \\
\midrule
% table body
& Le fameux théorème de Pythagore
& $H$ espace préhilbertien, $x, y \in H$
$[\langle x, y\rangle=0] \Rightarrow\bigl[\|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}\bigr]$.
\\
& Règle du parallélogramme
& $H$ espace préhilbertien, $x, y \in H$,
$\abs{x+y}^{2}+ \norm{x-y}^{2} = 2\bigl(\norm{x}^{2} + \norm{y}^{2}\bigr)$.
\\
& Règle de polarisation
& espace préhilbertien, $x, y \in H$ $\langle x, y\rangle=\sum \alpha\norm{x+\alpha y}^{2} ; \alpha=1,-1, i,-i$.
\\
& Inégalité de Schwarz ou bien de Cauchy-Schwarz
& espace préhilbertien, $\forall x, y \in H$,
$\abs{\langle x, y\rangle} \leq\norm{x}\norm{y}$,
$[\abs{\langle x, y\rangle}=\norm{x}\norm{y} \Leftrightarrow x$ et $y$ sont colinéaires].
\\
& Critère d'orthogonalité
& H espace préhilbertien, $[\abs{\langle x, y\rangle}=0] \Leftrightarrow[\forall lambda \in \mathbb{C},\norm{y} \leq\norm{\lambda x+y}]$.
\\
& Continuité du produit scalaire
& $H$ espace préhilbertien, I'application
$\{H \times H \rightarrow \mathbb{C},(x, y) \mapsto\langle x, y\rangle\}$ est continue.
\\
& Théorème de Riesz
& space de Hilbert, le dual $H^{*}$ de $H$ est isométriquement isomorphe à
$H$ par l'identification (antilinéaire)
$\bigl\{x^{*} \mapsto x, \forall y \in H,\left\langle y, x^{*}\right\rangle=(y \mid x)\bigr\}$.
\\
& Théorème de la projection
& H espace de Hilbert, $M$ sous-ensemble de $H$ convexe et fermé, $\forall x \in H, \exists y \in M, y$ unique, tel que $\norm{x-y} =\inf (\norm{x-z}, z \in M)$.
\\
& Orthogonal
& $H$ espace de Hilbert, $M$ sous-ensemble de $H, M^{\perp}$ est un sous-espace fermé de $H$; si $N=\overline{\Vect(M)}$, alors $N \cap M^{\perp}=\{0\}$.
\\
& Somme directe orthogonale
& espace de Hilbert, $M$ sous-espace vectoriel de $H$,
$\bigl(M^{\perp}\bigr)^{\perp}=\bar{M}, H=\bar{M} \oplus M^{\perp}$.
\\
& \begin{enumerate}
\item Inégalité de Bessel
\item Cas d'égalité dans Bessel
\item Identité de Parseval
\end{enumerate}
& Hilbert, $J=\{e_{n} ; n \in \mathbb{N}^{*}\}$ ensemble orthonormal
de $H, M=\overline{\Vect(J)}$ et $x \in H$ et $x_{n}=\bigl\langle x, e_{n}\bigr\rangle, n \in \mathbb{N}^{*}$.
\begin{enumerate}
\item $\sum_{n=1}^{+\infty}\abs{x_{n}}^{2} \leq\norm{x}^{2}$
\item $[x \in M] \Leftrightarrow\left[\norm{x}^{2}=\sum_{n=1}^{+\infty}\abs{x_{n}}^{2}\right]$
\item $[J$ est une base orthonormale] $\Leftrightarrow$
$\biggl[\forall x \in H, \sum_{n=1}^{+\infty}\abs{x_{n}}^{2}=\|x\|^{2}\biggr]$. \\
\end{enumerate}
\\
& Caractérisation des bases othonormales
& $H$ Hilbert, $J=\bigl\{e_{n} ; n \in \mathbb{N}^{*}\bigr\}$ ensemble orthonormal
de $H,[J$ base orthonormale$] \Leftrightarrow$
$\Bigl[\bigl\{\forall n,\left\langle x, e_{n}\bigr\rangle=0\Bigr\} \Rightarrow\{x=0\}\right]$.
\\
& Structure de $\ell^{2}$
& $\ell^{2}$, espace des suites de carré sommable.
$x=(x_{n} ; n \in \mathbb{N}^{*}) (D 1.15)$
C'est un espace de Hilbert pour le produit scalaire
$\langle x, y\rangle=\sum_{n\in\infty} x_{n} \overline{y_{n}}$
$\bigl\{e_{n} ; n \in \mathbb{N}^{*}\bigr\}, e_{n}=\bigl(\delta_{n, 2}, p \in \mathbb{N}^{*}\bigr)$ est une base
orthonormale de $\ell^{2}$.
\\
& Structure hilbertienne de $L^{2}([-\pi,+\pi])$
& $L^{2}([-\pi,+\pi])$ (D 1.16) est un espace de Hilbert pour le produit scalaire $\langle f, g\rangle=\int_{-\pi}^{+\pi} f(x) \overline{g(x)} d x$,
$\biggl\{e_{n} ; n \in \mathbb{Z}, e_{n}(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp(x)\biggr\}$ est une base orthonormale.
\\
& Théorème de Gram-Schmidt
& H espace de Hilbert, $\left\{g_{n} ; n \in \mathbb{N}^{*}\right\}$, système libre dans $H$, alors $\exists J=\left\{e_{n} ; n \in \mathbb{N}^{*}\right\}$
sous-ensemble orthonormal dans $H$ tel que
$\forall N \in \mathbb{N}^{*}, \Vect(e_{1}, \ldots, e_{N})=\Vect(g_{1}, \ldots, g_{N})$.
\\
\bottomrule
\end{longtblr}
\endgroup
\end{document}
Antwort2
Ich schlage vor, dass Sie zwei xltabularUmgebungen verwenden (die bei Bedarf über mehrere Seiten verteilt werden können), ihre Gesamtbreite auf einstellen \textwidthund einen automatischen Zeilenumbruch in den Spalten 2 und 3 zulassen. Ich würde außerdem die nutzbare Breite der ersten Datenspalte auf die Hälfte der Breite der zweiten Datenspalte einstellen. Ich würde auch alle vertikalen Linien und die meisten horizontalen Linien entfernen, um den Tabellen ein offeneres und einladenderes „Aussehen“ zu verleihen. Vertrauen Sie mir, die vertikalen Linien werden nicht vermisst.
Da Sie außerdem Palatino als Textschriftart verwenden möchten, schlage ich vor, dass Sie ein geeignetes Paket verwenden, um Palatin auch als Mathematikschriftart zu verwenden. Und schließlich, um Himmels willen, ersetzen Sie bitte beide Vorkommen von $\mathbf{N}^{\circ}$durch entweder \textbf{N}\textsuperscript{o}oder, wenn Sie darauf verzichten können.fettgedruckt der Buchstabe „N“, \No{}ein vom babelPaket bereitgestelltes Makro (wenn es mit der Option geladen wird french). (Anmerkung: Vielen Dank an den Benutzer @pascal974, der \No{}mich auf das Makro aufmerksam gemacht hat.)
\documentclass[11pt,a4paper]{book}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}
%%\usepackage[utf8]{inputenc} % that's the default nowadays
%%\usepackage{textcomp}
%%\usepackage{amsfonts} % is loaded automatically by 'amssymb'
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{amsmath} % is loaded automatically by 'mathtools'
\usepackage{mathtools}
\DeclarePairedDelimiter\abs{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter\norm{\lVert}{\rVert}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{pifont,dsfont,mathrsfs}
\usepackage{systeme}
%\everymath{\displaystyle} % not a good idea
\allowdisplaybreaks
\usepackage{float}
\usepackage[margin=2cm]{geometry}
\usepackage[Conny]{fncychap}
%% new code
%%\usepackage{palatino} % 'palatino' package is borderline obsolete
\usepackage{newpxtext,newpxmath} % Palatino clone
\usepackage{xltabular,ragged2e,booktabs}
\newcolumntype{L}[1]{>{\RaggedRight\hsize=#1\hsize\linewidth=\hsize}X}
\usepackage{enumitem}
\newlist{romanenum}{enumerate}{1}
\setlist[romanenum]{label=(\roman*), nosep, left=0pt,
before={\begin{minipage}[t]{\hsize}\RaggedRight},
after ={\end{minipage}}}
\begin{document}
\linespread{1.05} % because Palatino
% first table, for D5.1 thru D5.13
\begin{xltabular}{\textwidth}{@{} l L{0.667} L{1.333} @{}}
\toprule
\No{} & Notion définie & Définition \\
\midrule
\endhead
\bottomrule
\endlastfoot
D 5.1
& Produit scalaire dans un espace préhilbertien
& $H$ espace vectoriel complexe muni du produit
scalaire $\langle\cdot,\cdot \rangle$, application
$\{H \times H \to$ $\mathbb{C}$, $(x, y) \mapsto\langle x, y\rangle\}$, vérifiant
\begin{romanenum}
\item $\forall x \in H,\langle x, x\rangle \geq 0$
\item $\forall x, y \in H, \forall \lambda \in \mathbb{C},\langle x+\lambda y, z\rangle=
\langle x, z\rangle+\lambda\langle y, z\rangle$
\item $\forall x, y \in H, \langle y, x\rangle =\overline{\langle x, y\rangle}$ (complexe conjugué de $\langle x, y\rangle$)
\item $[\langle x, x\rangle=0] \Leftrightarrow [x=0]$.
\end{romanenum}
\\
\addlinespace
D 5.2
& Norme $\norm{\cdot}$ associée au produit scalaire
& $\|x\|=\langle x, x\rangle^{1 / 2}$ pour $H$ selon (D 5.1).
\\
\addlinespace
D 5.3
& Espace de Hilbert $H$
& Espace préhilbertien $H$ selon (D 5.1), de Banach (D~1.7) pour la norme associée.
\\
\addlinespace
D 5.4
& $x$ et $y$ orthogonaux, $x \perp y$
& $H$ préhilbertien, $x, y \in H$, $\langle x, y\rangle=0$. \\
\addlinespace
D 5.5
& Sous-ensembles $M$ et $N$ orthogonaux, $M \perp N$
& $H$ espace préhilbertien, $M \subset H$, $N \subset H$, $\forall x \in M, \forall y \in N,\langle x, y\rangle=0$.
\\
\addlinespace
D 5.6
& $M$ orthogonal, $M^{\perp}$
& $H$ espace préhilbertien, $M \subset H$, $M^{\perp}=\{y \in H ; \forall x \in M,\langle x, y\rangle=0\}$.
\\
\addlinespace
D 5.7
& $M$ et $N$ supplémentaires orthogonaux dans $H, H=M \oplus N$ ou $M \oplus^{\perp} N$ somme directe
& $H$ est un espace de Hilbert, $M$ et $N$ sont deux sous-espaces fermés de $H$ orthogonaux entre eux, $H=M \oplus N$, on note aussi $H=M \oplus^{\perp} N$, la norme sur $H$ est équivalente à celle fixée dans (D~1.12). \\
\addlinespace
D 5.8
& Projection orthogonale $y$ de $x$ sur $M, y=P_{M X}$ \
& $H$ espace préhilbertien, $M$ sous-espace vectoriel complet de $H, x \in H$
Pour $H=M \oplus^{\perp} N$, selon (D 5.7), $x=y+z, y \in M, z \in N$.
\\
\addlinespace
D 5.9
& Ensemble orthogonal $J$
& $H$ espace préhilbertien, $J \subseteq H$,
$\forall x, y \in J, x \neq y$, on $a\langle x, y\rangle=0$.
\\
\addlinespace
D 5.10
& Ensemble orthonormal $J$ (ou orthonormé)
& $H$ espace préhilbertien, $J \subseteq H, J$ orthogonal et $\forall x \in J$, $\|x\|=1$.
\\
\addlinespace
D 5.11
& Ensemble total $J$
& $H$ espace de Hilbert, $J \subseteq H$,
Vect $(J)$, sous-espace vectoriel fermé engendré par $J$, est $H$ entier.
\\
\addlinespace
D 5.12
& Base orthonormale $B$
& $H$ espace de Hilbert, $B$ ensemble orthonormal et total.
\\
\addlinespace
D 5.13
& Espace de Hilbert séparable
& $H$ espace de Hilbert, il existe une base orthonormale $B$ au plus dénombrable. \\
\end{xltabular}
% second table, for P5.1 thru P5.15
\begin{xltabular}{\textwidth}{@{} l L{0.667} L{1.333} @{}}
\toprule
\No{} & Désignation & Énoncé \\
\midrule
\endhead
\midrule
\multicolumn{3}{r@{}}{\footnotesize suite à la page suivante}\\
\endfoot
\bottomrule
\endlastfoot
P 5.1
& Le fameux théorème de Pythagore
& $H$ espace préhilbertien, $x, y \in H$
$[\langle x, y\rangle=0] \Rightarrow\bigl[\norm{x+y}^{2}=\norm{x}^{2}+\norm{y}^{2}\bigr]$.
\\
\addlinespace
P 5.2
& Règle du parallélogramme
& $H$ espace préhilbertien, $x, y \in H$,
$\norm{x+y}^{2}+\norm{x-y}^{2}=2\bigl(\norm{x}^{2}+\norm{y}^{2}\bigr)$.
\\
\addlinespace
P 5.3
& Règle de polarisation
& Espace préhilbertien, $x, y \in H$
$4\langle x, y\rangle=\sum \alpha\norm{x+\alpha y}^{2}$; $\alpha=1,-1, i,-i$.
\\
\addlinespace
P 5.4
& Inégalité de Schwarz ou bien de Cauchy-Schwarz
& Espace préhilbertien, $\forall x, y \in H$,
$\abs{\langle x, y\rangle} \leq\norm{x}\norm{y}$
$[\,\abs{\langle x, y\rangle}=\norm{x}\norm{y} \Leftrightarrow \text{$x$ et $y$ sont colinéaires}]$.
\\
%\addlinespace
P 5.5
& Critère d'orthogonalité
& $H$ espace préhilbertien,
$[\,\abs{\langle x, y\rangle}=0] \Leftrightarrow [\forall \lambda \in \mathbb{C}, \norm{y} \leq\norm{\lambda x+y}\,]$. \\
\addlinespace
P 5.6
& Continuité du produit scalaire
& $H$ espace préhilbertien, l'application
$\{H \times H \to \mathbb{C},(x, y) \mapsto\langle x, y\rangle\}$ est continue.
\\
\addlinespace
P 5.7
& Théorème de Riesz
& $H$ espace de Hilbert, le dual $H^{*}$ de $H$ est isométriquement isomorphe à $H$ par l'identification (antilinéaire) $\{x^{*} \mapsto x, \forall y \in H,\langle y, x^{*}\rangle=(y \mid x)\}$.
\\
\addlinespace
P 5.8
& Théorème de la projection
& $H$ espace de Hilbert, $M$ sous-ensemble de $H$ convexe et fermé, $\forall x \in H, \exists y \in M, y$ unique, tel que $\norm{x-y}=\inf \bigl(\,\norm{x-z}, z \in M\bigr)$. \\
\addlinespace
P 5.9
& Orthogonal
& $H$ espace de Hilbert, $M$ sous-ensemble de $H, M^{\perp}$ est un sous-espace fermé de $H$; si $N=\overline{\operatorname{Vect}(M)}$, alors $N \cap M^{\perp}=\{0\}$.
\\
\addlinespace
P 5.10
& Somme directe orthogonale
& Espace de Hilbert, $M$ sous-espace vectoriel de $H$, \
$\left(M^{\perp}\right)^{\perp}=\bar{M}, H=\bar{M} \oplus M^{\perp}$.
\\
\addlinespace
P 5.11
& \begin{romanenum}
\item Inégalité de Bessel
\item Cas d'égalité dans Bessel
\item Identité de Parseval
\end{romanenum}
& Hilbert, $J=\left\{e_{n} ; n \in \mathbb{N}^{*}\right\}$ ensemble orthonormal de $H, M=\overline{\operatorname{Vect}(J)}$ et $x \in H$ et $x_{n}=\langle x, e_{n}\rangle$, $n \in \mathbb{N}^{*}$.
\begin{romanenum}
\item $\sum_{n=1}^{+\infty}\abs{x_{n}}^{2} \leq\norm{x}^{2}$
\item $[x \in M] \Leftrightarrow\bigl[\,\norm{x}^{2}=\sum_{n=1}^{+\infty}\abs{x_{n}}^{2}\bigr]$
\item $[\text{$J$ est une base orthonormale}]\Leftrightarrow$
\quad$\bigl[\forall x \in H, \sum_{n=1}^{+\infty}\abs{x_{n}}^{2}=\norm{x}^{2}\bigr]$.
\end{romanenum}
\\
\addlinespace
P 5.12
& Caractérisation des bases orthonormales
& $H$ Hilbert, $J=\left\{e_{n} ; n \in \mathbb{N}^{*}\right\}$ ensemble orthonormal de $H$,
$[\text{$J$ base orthonormale}] \Leftrightarrow$
\quad$\bigl[\{\forall n,\langle x, e_{n}\rangle=0\} \Rightarrow\{x=0\}\bigr]$.
\\
\addlinespace
P 5.13
& Structure de $\ell^{2}$
& $\ell^{2}$, espace des suites de carré sommable.
$x=(x_{n} ; n \in \mathbb{N}^{*})$ (D~1.15)
C'est un espace de Hilbert pour le produit scalaire $\langle x, y\rangle=\sum_{n=+\infty}^{n=+\infty} x_{n} \overline{y_{n}}$
$\left\{e_{n} ; n \in \mathbb{N}^{*}\right\}$,
$e_{n}=(\delta_{n, 2}, p \in \mathbb{N}^{*})$ est une base orthonormale de $\ell^{2}$.
\\
\addlinespace
P 5.14
& Structure hilbertienne de $L^{2}([-\pi,+\pi])$
& $L^{2}([-\pi,+\pi])$ (D 1.16) est un espace de Hilbert pour le produit scalaire $\langle f, g\rangle
=\int_{-\pi}^{+\pi} f(x) \overline{g(x)} \,dx$,
$\{e_{n} ; n \in \mathbb{Z}, e_{n}(x)=(1/\sqrt{2 \pi}\,) \exp (x)\}$ est une base orthonormale. \\
\addlinespace
P 5.15
& Théorème de Gram-Schmidt
& $H$ espace de Hilbert, $\{g_{n} ; n \in \mathbb{N}^{*}\}$, système libre dans $H$, alors $\exists\ J=\{e_{n} ; n \in \mathbb{N}^{*}\}$ sous-ensemble orthonormal dans $H$ tel que $\forall N \in \mathbb{N}^{*}$, $\operatorname{Vect}\left(e_{1}, \ldots, e_{N}\right)=\operatorname{Vect}(g_{1}, \dots, g_{N})$.
\\
\end{xltabular}
\end{document}