He reiniciado el servicio de red en mi nuevo servidor. Después de eso, no puedo acceder al servidor directamente a través de PuTTY. Se sigue agotando el tiempo. Puedo conectarme al servidor a través de ssh desde cualquiera de los servidores en la misma red.
Respuesta1
Finalmente descubrí que de alguna manera faltaba la puerta de enlace predeterminada en el servidor y no estoy seguro de cómo. Agregar una entrada de ruta predeterminada usando el comando
route add default gw IP_address eth0
resolvió mi problema. Se puede acceder a mi servidor directamente a través de PuTTY y también puedo hacer ping al servidor.