Me gustaría modificar la función PAGO de Excel para tener en cuenta una reducción mensual fija del préstamo. Por ejemplo, cuando el préstamo es una tarjeta de crédito, el titular de la tarjeta puede gastar dinero todos los meses, y esto cambiará el pago mensual requerido para liquidar el préstamo.
Esta respuesta especifica la ecuación para la función PMT como P = (Pv*R) / [1 - (1 + R)^(-n)]:https://superuser.com/a/871411
¿Cómo se puede modificar esta fórmula para incluir una disposición mensual fija?
Por ejemplo, si el préstamo es una tarjeta de crédito y el titular de la tarjeta gasta $50 por mes en la tarjeta, ¿cómo modificamos la fórmula anterior para tener en cuenta esto? El plazo del préstamo debería seguir siendo el mismo, pero me gustaría calcular el nuevo pago mensual necesario para liquidar el préstamo y tener en cuenta también el retiro mensual.
Respuesta1
Funciones como PMTproteger a los usuarios de tener que comprender las matemáticas subyacentes a las capacidades de cálculo financiero de Excel. Para llegar al tipo de expresión citada enhttps://superuser.com/a/871411es necesario comprender esas matemáticas y luego adaptarlas para hacer frente al escenario descrito.
Las relaciones matemáticas básicas involucradas son:
v(i+1) = v(i)*(1+r) - p
v(1) = L
v(n+1) = 0
donde se pide prestada una cantidad L durante n períodos a una tasa de interés de r por período y se realizan pagos por montos de pal final de cada periodo. v(i) es el monto del préstamo pendiente al comienzo del i-ésimo período.
La primera relación (ecuación)
v(i+1) = v(i)*(1+r) - p
simplemente dice, en palabras, que el monto pendiente al comienzo del período i se incrementa sumando los intereses acumulados durante el período i antes de reducirlo por el monto del pago realizado al final del período i para obtener el monto pendiente al comienzo del siguiente período (período i+1).
Las otras dos ecuaciones simplemente establecen las condiciones iniciales y finales del préstamo.
Tenga en cuenta que si los pagos p se realizan al inicio de cada período (en lugar de al final), la primera ecuación cambiaría a:
v(i+1) = (v(i)-p)*(1+r) y v (i) sería el monto pendiente al inicio del período iinmediatamente antes de realizar el pago p.
El análisis siguiente, que determina p en términos de L, r y n, supone que los pagos se realizan al final de cada período.
Análisis matemático
Esto comienza con la relación entre el monto del préstamo pendiente en períodos sucesivos
v(i+1) = v(i)*(1+r) - p [Ecuación 1]
dado que la Ecuación 1 se aplica a todos los períodos, se deduce que
v(i+2) = v(i+1)*(1+r) - p
Ahora, usando la Ecuación 1 para sustituir v(i+1) en esta segunda ecuación se obtiene
v(i+2) = (v(i)*(1+r) - p) * (1+r) - p
Lo cual, con una pequeña reorganización, se puede escribir como
v(i+2) = v(i)*(1+r)^2 - p * ((1+r) + 1) [Ecuación 2]
Nuevamente, de la Ecuación 1 se deduce que
v(i+3) = v(i+2)*(1+r) - p
entonces, sustituyendo v(i+2) usando la Ecuación 2 se obtiene
v(i+3) = (v(i)*(1+r)^2 - p * ((1+r) + 1)) * (1+r) - p
que se puede reorganizar como
v(i+3) = v(i)*(1+r)^3 - p * ((1+r)^2 + (1+r) + 1) [Ecuación 3]
Las ecuaciones 1, 2 y 3, respectivamente, expresan v(i+1), v(i+2) y v(i+3) en términos de v(i), r y p. Hay un patrón emergente (*) en las Ecuaciones 1, 2 y 3 que se puede utilizar para escribir una Ecuación general m como
v(i+m) = v(i)*(1+r)^m - p * ((1+r)^(m-1) + (1+r)^(m-2) + ... + (1+r) + 1)[Ecuación m]
El factor que multiplica p es una serie geométrica finita escrita al revés. Una serie geométrica (Google it) es una suma en la que cada término sucesivo es el término anterior multiplicado por una cantidad constante.
Para una serie geométrica finita general escrita
S(m) = 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^(m-1)
hay una expresión muy conocida que
S(m) = (x^m - 1)/(x - 1)
En la ecuación m, la serie geométrica se escribe al revés y x = 1+r, por lo que la ecuación se puede simplificar a
v(i+m) = v(i)*(1+r)^m - p((1+r)^m - 1)/(1+r - 1))
o, simplificando el término del denominador final
v(i+m) = v(i)*(1+r)^m - p((1+r)^m - 1))/r [Ecuación m']
Ahora, establezca el valor general m en el número de períodos n, establezca i en 1 y observe las condiciones de contorno que
v(1) = L y
v(n+1) = 0
Hacer esto proporciona una versión de la ecuación m' como
0 = L*(1+r)^n - p((1+r)^n - 1)/r
que, con un poco de reorganización, se puede escribir como
p = (L * r * (1+r)^n)/((1+r)^n - 1)
o dividiendo el numerador y el denominador del lado derecho entre (1+r)^n
p = (L*r)/(1 - (1+r)^(-n)) [Ecuación para p]
que es, efectivamente, la fórmula encontrada anteriormente.
Escenario con endeudamiento adicional
Aquí, supongamos que al comienzo de cada período (incluido el primero), se toma prestada una cantidad adicional b. v(i) es ahora el monto del préstamo pendiente en el período inicial i,inmediatamente antes de que se agregue la cantidad b al préstamo.
Las relaciones son ahora
v(i+1) = (v(i)+b)*(1+r) - p
v(1) = L
v(n+1) = 0
aplicar el mismo tipo de análisis establecido anteriormente conduce a la analogía de la ecuación m' como
v(i+m) = v(i) * (1+r)^m + b * (1+r)*((1+r)^m - 1)/r - p * ((1+r)^m -1)/r
el cual luego de aplicar las condiciones de inicio y fin se puede resolver, luego de un poco de manipulación, a:
p = (L * r)/(1 - (1+r)^(-n)) + b * (1+r)
Potencialmente, hay cuatro escenarios diferentes: dos posibilidades para cada uno de los dos tipos de transacciones, lo que da cuatro posibilidades en total. Cada escenario se presta al tipo de análisis expuesto anteriormente. Los pagos al final de cada período y el endeudamiento adicional al comienzo es el escenario analizado; los tres escenarios posibles restantes se dejan como ejercicio para el lector.
Advertencia
En la práctica, cuando los períodos son meses, las instituciones financieras suelen utilizar cálculos de intereses diarios para reconocer que cada mes tiene diferentes duraciones y algunas (mirándote a ti, Barclaycard UK) incluso varían las fechas de un mes a otro cuando se aplican los intereses. a cuentas. Así, generalmente, PMTlos cálculos y los basados en el análisis anterior proporcionan estimaciones razonables pero no precisas de lo que sucede en la realidad.
(*) Los verdaderos matemáticos, por supuesto, no sólo se basarían en la observación de un patrón emergente como "la verdad", sino que se propondrían probar (o refutar) la verdad general de ese patrón. Para simplificar, he omitido la prueba involucrada en demostrar que la ecuación m es verdadera en general pero, créanme (tengo un par de títulos en materias matemáticas), la prueba existe.