Creando una tabla automatizada de signos.

Question

Al resolver algunas desigualdades en el contexto del curso de álgebra-precálculo, a veces es útil esbozar el comportamiento de los factores involucrados mediante una tabla. Todo queda claro con un ejemplo: digamos que queremos resolver:

la tabla asociada es:

Si en la desigualdad hay un factor de la forma, 1/(x-a)a veces se indica en la tabla usando una línea doble ||debajo de a. Llamemos a estas restricciones.

A la hora de enseñar cálculo existen algunas tablas similares para tratar el signo de las derivadas, la concavidad, los puntos críticos, etc.

Lo que quiero es:

• un nuevo tipo de entorno de tabla que toma como argumentos los números donde los factores cambian de signo (-3, 0, 1).
• una forma de indicar que dicho número es una restricción.

• Las dos primeras líneas del ejemplo deben escribirse como:

  \begin{signtable}{-3}{0}{1}
    x & -  & - & + & + \\
  \end{signtable}`
  

Así que publico esto porque creo que hay muchas formas posibles de resolver esto y quiero conocerlas.

Me pregunto si esto se puede hacer mejor con TikZ.

Hasta ahora, el código del ejemplo es:

\documentclass{article}
\usepackage{array}

\begin{document}
\begin{array}{*{5}{c|}@{}c@{}}
\multicolumn{6}{@{}c@{}}{
\begin{array}{*{10}{@{}l@{}}}
\phantom{x(x-1)(x+3} & -\infty & \hspace*{5pt} & -3 & \phantom{-} & 0 & \phantom{+}\hspace*{3pt} & 1 & \phantom{+} & +\infty
\end{array}
}\\
\cline{1-5}
x                     &  - & - & + & + &\\
\cline{1-5}
x-1                   &  - & - & - & + &\\
\cline{1-5}
x+3                   &  - & + & + & + &\\
\cline{1-5}
x(x-1)(x+3)           &  - & + & - & + &
\end{array}
\end{document}

Answer 1

Antes de invertir demasiado tiempo en crear un nuevo paquete, le recomiendo que mire los paquetes tableaux, tablor y tkz-tab. Los ejemplos de código son legibles, sin embargo toda la documentación de los tres paquetes está en francés. He ejecutado con éxito algunos de los ejemplos de estos manuales como demostraciones para mis alumnos de la clase de LateX. Usarhttp://www.texdoc.net/para obtener la documentación de cada uno de estos rápidamente.

Answer 2

Pensé que era una buena idea y que podría ser divertida, así que lo intenté. Tengo la intención de usar esto yo mismo, por lo que se desvía de los detalles de la pregunta, pero teniendo la pregunta en mente, me acerqué bastante.

• Sintaxis:\SignTable{comma separated factors}{comma separated zeros}
• La variable debe serz
• Acepta cualquier función reconocida por l3fp. Usé algunos a continuación, se pueden encontrar más en la documentación. La sintaxis es importante; utilice corchetes y símbolos de multiplicación adecuados cuando sea apropiado. Excepción: funciones sin zcomo ln zy exp z.
• Solo se puede confiar en esto si los valores utilizados son ceros/discontinuidades de la función y todos se tienen en cuenta en cualquier intervalo que le interese. Si simplemente elige un montón de números aleatorios, se pueden introducir errores. Estoy seguro de que se puede confiar en él de todos modos, pasé mucho tiempo solucionando las cosas.
• Tenga cuidado al usar una función como ln xy probar valores negativos
• Para centrar los números críticos sobre las columnas, hice algo hack (¡estoy seguro de que se puede argumentar que todo mi muro de código es hack!), esto dificultó el uso de reglas verticales y que se vieran bien (aparte de las booktabsreglas). /Interacción de reglas verticales. Por lo tanto, no hay reglas verticales.
• Para marcar "restricciones" utilicé y \fboxse podrían probar otras cosas.

\SignTable{sin z,z+6,2^z,z^3,1/(z+4)}{-6,-4,0,\pi}produce lo siguiente (y sí, ignoré algunos ceros de sin z:)

Muro de código

\documentclass{article}
\usepackage{xparse}
\usepackage{booktabs}
\usepackage{array}
\usepackage{mathtools}
\ExplSyntaxOn

% table rows
\tl_new:N \l_ft_rows_tl
% actual function
\tl_new:N \g_the_funct_tl
% table setup, first and last rows require special handling
\tl_new:N \g_ft_first_row_tl
\tl_new:N \l_ft_col_set_tl
\tl_new:N \l_last_row_tl
% holds points of discontinuity, if any
\seq_new:N \g_asys_seq
% set of (loosely) "critical points"
\seq_new:N \g_ft_pts_seq
% pts at which to evaluate function to determine sign
\seq_new:N \g_ft_eval_pts_seq
% holds the factors that are input
\seq_new:N \g_ft_functs_seq

% arg 1 is comma separated list of factors
% arg2 is set of "critical points"
\NewDocumentCommand { \SignTable } { m m }
    {
        % function names should be fairly self explanatory
        \ft_def_functs:n {#1}
        \ft_set_vals:n {#2}
        \seq_map_function:NN \g_ft_functs_seq \ft_eval_funct_rows:n
            % this looks for entered values that give infinite results and marks them.
        \seq_map_function:NN \g_ft_functs_seq \ft_find_asys:n
        \ft_last_row:
        \ft_set_cols:
        \ft_first_row:
        % space the table a bit more openly
        \renewcommand{\arraystretch}{1.5}
        % \l_ft_col_set_tl contains column spec
        \exp_args:Nnx\begin{array}{\tl_use:N \l_ft_col_set_tl}
        \tl_use:N \g_ft_first_row_tl
    \toprule
    \tl_use:N \l_ft_rows_tl
        \bottomrule
        \tl_use:N \l_last_row_tl
    \end{array}
    }

% grab factors from arg
\cs_new:Npn \ft_def_functs:n #1
    {
        \seq_gset_split:Nnn \g_ft_functs_seq { , } {#1}
    }

% just average consecutive critical numbers for test points
\cs_new:Npn \ft_set_vals:n #1
    {
        \seq_gset_split:Nnn \g_ft_pts_seq { , } {#1}
        \seq_set_eq:NN \l_tmpa_seq \g_ft_pts_seq
        \group_begin:
            \seq_get_left:NN \g_ft_pts_seq \l_tmpa_fp
            \seq_put_left:Nx \g_ft_pts_seq {\fp_eval:n {\l_tmpa_fp-1}}
            \seq_get_right:NN \l_tmpa_seq \l_tmpa_fp
            \seq_put_right:Nx \l_tmpa_seq {\fp_eval:n {\l_tmpa_fp+1}}
            \seq_mapthread_function:NNN \l_tmpa_seq \g_ft_pts_seq \ft_avg:nn
        \group_end:
    }
% helper function for the above
\cs_new:Npn \ft_avg:nn #1#2
    {
        \seq_gput_right:Nx \g_ft_eval_pts_seq {\fp_eval:n {#1/2+#2/2}}
    }

% receives a factor, does some formatting, plugs in some numbers, test sign,
% print appropriate sign.  
\cs_new:Npn \ft_eval_funct_rows:n #1
    {
        \tl_set:Nn \l_tmpa_tl {#1}
        \tl_gput_right:Nx \g_the_funct_tl {(\tl_use:N \l_tmpa_tl)*}
        \tl_remove_all:Nn \l_tmpa_tl {*}
        \tl_put_right:NV \l_ft_rows_tl \l_tmpa_tl 
        \seq_map_inline:Nn \g_ft_eval_pts_seq
            {
                \tl_set:Nn \l_tmpa_tl {#1}
                \tl_replace_all:Nnn \l_tmpa_tl {z} {(##1)}
                \fp_compare:nNnTF {\fp_eval:n {\l_tmpa_tl}}< {0}
                    {\tl_put_right:Nn \l_ft_rows_tl {&&-}}
                    {\tl_put_right:Nn \l_ft_rows_tl {&&+}}
            }
        \tl_put_right:Nn \l_ft_rows_tl {&\\}
    }

% receives a factor, plugs in critical points to see if any give infinite result
% if yes, add point to asys sequence.
\cs_new:Npn \ft_find_asys:n #1
    {
        \group_begin:
        \fp_trap:nn {invalid_operation}{none}
        \seq_map_inline:Nn \g_ft_pts_seq
            {
                \tl_set:Nn \l_tmpa_tl {#1}
                \tl_replace_all:Nnn \l_tmpa_tl {z} {(##1)}
                \fp_compare:nNnT {\fp_eval:n {\l_tmpa_tl}}={inf}
                {\seq_gput_right:Nn \g_asys_seq {##1}}
            }
        \group_end:
    }

\cs_new:Npn \ft_last_row:
    {
        % remove an extra mult operator, this is ugly
        \tl_put_right:Nn \l_last_row_tl {f(z)}
        \tl_reverse:N \g_the_funct_tl
        \tl_set:Nx \g_the_funct_tl {\tl_tail:N \g_the_funct_tl}
        \tl_reverse:N \g_the_funct_tl
        % if you want the function to appear rather than f(z)
        % uncomment the below and comment the first line above.
        %\group_begin:
            %\tl_remove_all:Nn \g_the_funct_tl {*}
            %\tl_gput_right:NV \l_last_row_tl \g_the_funct_tl
        %\group_end:
        \seq_map_inline:Nn \g_ft_eval_pts_seq
            {
                \tl_set_eq:NN \l_tmpa_tl \g_the_funct_tl
                \tl_replace_all:Nnn \l_tmpa_tl {z} {(##1)}
                \fp_compare:nNnTF {\fp_eval:n {\l_tmpa_tl}}< {0}
                    {\tl_put_right:Nn \l_last_row_tl {&&-}}
                    {\tl_put_right:Nn \l_last_row_tl {&&+}}
            }
        \tl_put_right:Nn \l_last_row_tl {&}
    }

% alternating centered and centered with zero width.
\cs_new:Npn \ft_set_cols:
    {
        \prg_replicate:nn{2+\seq_count:N \g_ft_pts_seq}{\tl_put_right:Nn \l_ft_col_set_tl {cm{0pt}}}
    }

% to center the critical points on the column separators, all I could think of was to make the 
% headings have zero size and center them on columns of zero width
\cs_new:Npn \ft_first_row:
    {
        \tl_put_right:Nn \g_ft_first_row_tl {&$\mathclap{\underset{\phantom{\downarrow}}{-\infty}}$&}
        \seq_map_inline:Nn \g_ft_pts_seq
            {
                \tl_put_right:Nn \g_ft_first_row_tl {&$\mathclap{\underset{\downarrow}{\is_asy:n {##1}}}$&}
            }
        \tl_put_right:Nn \g_ft_first_row_tl {&$\mathclap{\underset{\phantom{\downarrow}}{\infty}}$\\}
    }

% do something to the points of discontinuity
% change this to whatever works
\cs_new:Npn \is_asy:n #1
    {
        \seq_if_in:NnTF \g_asys_seq {#1}
            {\fboxsep=1pt \fbox{$#1$}}
            {#1}
    }

\ExplSyntaxOff
\begin{document}

\[
\SignTable{sin z,z+6,2^z, z^3,1/(z+4)}{-6,-4,0,\pi}
\]

\end{document}