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Espaciado vertical inconsistente al usar encabezados de sección

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Espaciado vertical inconsistente al usar encabezados de sección

La semana pasada leí un breve artículo sobre LaTeX y ahora estoy escribiendo mi primer documento. Busqué en Google y solucioné la mayoría de los problemas, pero en este no encontré ninguna respuesta que funcione. Es para una tarea de matemáticas y solo quiero escribir muchas matemáticas con algunos comentarios \text{} en cada solución para que mi documento se vea así:

\documentclass[11pt,twoside,a4paper,fleqn]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[swedish, english]{babel}
\usepackage{mathtools} 
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancy}
\usepackage[nodisplayskipstretch]{setspace}
\setstretch{1.5}
\lhead{Fredrik \qquad 2/5-2015}
\rhead{Inlämningsuppgift 2}
\setlength{\oddsidemargin}{15.5pt}
\setlength{\evensidemargin}{15.5pt}
\setlength{\headheight}{14pt}
\begin{document}
\section*{Uppgift 2.1}
\begin{equation*}
\begin{split}
& u(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} \\
& u_{1}=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \quad
u_{2}=\frac{2y}{2\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \\
& \nabla u(1,1)=\frac{1}{\sqrt{2}}i+\frac{1}{\sqrt{2}}j, \quad
|\nabla u|=\sqrt{\left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right) ^2 + \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=1 \\
& v(x,y)=x+y+2\sqrt{xy} \\
& v_{1}=1+\frac{2y}{2\sqrt{xy}}=1+\frac{y}{\sqrt{xy}}, \quad
v_{2}=1+\frac{2x}{2\sqrt{xy}}=1+\frac{x}{\sqrt{xy}} \\
& \nabla v(1,1)=2i+2j, \quad
|\nabla v|=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2} \\
& \text{Grader } \theta \text{ mellan \textbf{u} och \textbf{v}:} \\ 
& \theta = \arccos \frac{u\bullet v}{|u||v|} \\
& \theta = \arccos \left( \frac{\frac{2}{\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}}}{2\sqrt{2}} \right)=\arccos \left(\frac{4}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} \right)=\arccos(1)=0
\end{split} 
\end{equation*}

\section*{Uppgift 2.2}
\begin{equation*}
\begin{split}
& r=a+b, \quad |r|=\sqrt{a^2+b^2}, \quad \nabla r=ai+bj \\
& u=\sin \left( \sqrt{a^2+b^2} \right), \quad u_{1}=\frac{a \cdot \cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right) }{2\sqrt{a^2+b^2}}, \quad u_{2}=\frac{b \cdot \cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right) }{2\sqrt{a^2+b^2}} \\
& \nabla u=\frac{\cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right)}{\sqrt{a^2+b^2}}\left(ai+bj \right) \\
& \frac{ai+bj}{\sqrt{a^2+b^2}}\bullet \frac{\cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right)}{\sqrt{a^2+b^2}}(ai+bj)=\frac{\cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right)\cdot a^2}{a^2+b^2}+\frac{\cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right)\cdot b^2}{a^2+b^2}= \\
& \frac{\cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right)\cdot (a^2+b^2)}{a^2+b^2}= \cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right)=\cos (r)
\end{split}
\end{equation*}

\section*{Uppgift 2.3}
\begin{equation*}
\begin{split}
& z(x,y)=6x^2 y^3-6x^2-9y^2+1, \quad \nabla z=(12xy^3-12x, 18x^2 y^2-18y)\\
& \text{Letar efter nollställen}\\
& 12x(y^3-1)=0, \quad y=0, \quad x=0 \qquad \ \text{ger } (0,0)\\
& 18y(x^2y-1)=0, \quad y=0, \quad x=\pm 1 \quad \text{ger } (1,1) \text{ och } (-1,1)\\
& z_{xx}=12y^3-12, \quad z_{xy}=z_{yx}=36xy^2, \quad z_{yy}=36x^2y-8\\
& \mathcal{H}=
\begin{bmatrix}
z_{xx} & z_{xy}\\
z_{yx} & z_{yy}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
12y^3-12 & 36xy^2\\
36xy^2 & 36x^2 y-18
\end{bmatrix} \\
& (0,0): \mathcal{H} =
\begin{bmatrix}
-12 & 0\\
0 & -18
\end{bmatrix}
\quad det(\mathcal{H})=(-12)\cdot(-18)-0=126 \\
& \begin{rcases}
det(\mathcal{H}) & > 0\\
f_{xx} & < 0
\end{rcases}
\text{Maxpunkt} \\
& (1,1): \mathcal{H} =
\begin{bmatrix}
0 & 36\\
36 & 18
\end{bmatrix}
\quad det(\mathcal{H})=0-36 \cdot 36=-1296 
&&\quad det(\mathcal{H}) < 0 \\
& (-1,1): \mathcal{H} =
\begin{bmatrix}
0 & -36\\
-36 & 18
\end{bmatrix}
\quad det(\mathcal{H})=0-(-36) \cdot (-36)=-1296
&&\quad det(\mathcal{H}) < 0 
\end{split}
\end{equation*}

\section*{Uppgift 2.4}
\begin{equation*}
\begin{split}
& f(x,y)=2x+8y-x^2-4y^2-4, \quad \nabla f=(2-2x, 8-8y) \\
& (1,1): \quad
\begin{rcases}
f_{xx} & =-2 \\
det(\mathcal{H})& =16
\end{rcases}
\text{maxpunkt}
\end{split}
\end{equation*}

\section*{Uppgift 2.5}
\begin{equation*}
\begin{split}
& f(x,y)=\sqrt{2x^2+3y^2+4} \\
& 000\text{Första delen}000 \\
& f_1 = \frac{4x}{2\sqrt{2x^2+3y^2+4}}, \quad
f_2 = \frac{6y}{2\sqrt{2x^2+3y^2+4}}, \quad 
f_{12}=f_{21}=\frac{-2x6y}{\left( \sqrt{2x^2+3y^2+4} \right)^2} \\
\\
& f_{11} = \frac{2\sqrt{2x^2+3y^2+4}-\frac{2x\cdot 4x}{2\sqrt{2x^2+3y^2+4}}}{\left( 2\sqrt{2x^2+3y^2+4} \right)^2}, \quad
f_{22}= \frac{3\sqrt{2x^2+3y^2+4}-\frac{3y\cdot 6y}{2\sqrt{2x^2+3y^2+4}}}{\left( 2\sqrt{2x^2+3y^2+4} \right)^2} \\ \\
& \text{Kollar värden för derivatorna i punkten $(0,0)$} \\
& f_1=\frac{0}{2}=0, \quad f_2=\frac{0}{2}=0, \quad f_{12}=0, \quad 
f_{11}=\frac{2\cdot 2-0}{4}=1, \quad f_{22}=\frac{3\cdot 2-0}{4}=\frac{3}{2} \\
& P_2(x,y)= f(a,b)+f_1(a,b)(x-a)+f_2(a,b)(y-b)+\frac{1}{2} \left( f_{11}(x-a)^2+f_{22}(y-b)^2+2f_{12}(x-a)(y-b)\right) \\
\end{split}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{split}
& P_2(x,y)=2+0x+0y+\frac{1}{2}(x-0)^2+\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}(y-0)^2+\frac{1}{2}\cdot2\cdot0(x-0)(y-0)=2+\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{4}y^2 \\
& P_2(0,1;0,1)=2+\frac{1}{2}(0,1)^2+\frac{3}{4}(0,1)^2=2+\frac{1}{200}+\frac{3}{400}=\frac{805}{400}=2,0125 \\
& f(0,1;0,1)=\sqrt{2(0,1)^2+3(0,1)^2+4}=\sqrt{\frac{2}{100}+\frac{3}{100}+4}=\sqrt{\frac{405}{100}}=2,01246 \\
\end{split}
\end{equation*}

\section*{Uppgift 2.6}
\begin{equation*}
\begin{split}
& f(x,y)=2x+y, \quad g(x,y)=x^2+y^2-5=0 \\
& L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)=2x+y+\lambda (x^2+y^2-5) \\
& \frac{\partial L}{\partial x}=2+2x\lambda, \quad
\frac{\partial L}{\partial y}=1+2y\lambda, \quad
\frac{\partial L}{\partial \lambda}=x^2+y^2-5 \\
& \text{Söker efter nollställen genom att sätta derivatorna lika med 0} \\
& \begin{rcases} & \frac{\partial L}{\partial x}= 0=2(1+x\lambda) \Rightarrow \lambda=-\frac{1}{x}  \\
& \frac{\partial L}{\partial y}=0=1+2y\lambda \Rightarrow \lambda =-\frac{1}{2y} 
\end{rcases} \Rightarrow
-\frac{1}{x}=-\frac{1}{2y} \Rightarrow 2y=x \Rightarrow y=\frac{x}{2} \\
& \text{Sätter in resultatet i $\frac{\partial L}{\partial \lambda}=0$} \\
& 0=y^2+x^2-5 \Rightarrow \frac{x^2}{4}+x^2-5=0 \Rightarrow 0=5x^2-20 \Rightarrow 
4=x^2 \Rightarrow x=\pm 2 \\
& \text{Det ger} \\
& y=\frac{\pm2}{2}=\pm1 \text{ och } \lambda=\pm \frac{1}{2} \\
& \text{Ur det får vi punkterna $(2,1)$ och $(-2,-1)$ vilket ger} \\
& f(2,1)=4+1=5 \quad \text{och} \quad f(-2,-1)=-4-1=-5 \\
\end{split}
\end{equation*}

\end{document}

Esto me da un resultado donde el espaciado encima y debajo de los títulos de las secciones difieren (también tienen sangrías diferentes, pero eso no es tan importante):

parte de la salida pdf

Respuesta1

Aquí hay una solución. Simplifiqué ligeramente su código con el geometrypaquete y mejoré el formato de números decimales consiunitx

\documentclass[11pt, twoside, a4paper, fleqn]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[swedish,english]{babel}%
\usepackage[showframe, nomarginpar, headheight=14pt, hmargin=30mm]{geometry}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancy}
\usepackage[nodisplayskipstretch]{setspace}
\setstretch{1.5}
\lhead{Fredrik \qquad 2/5-2015}
\rhead{Inlämningsuppgift 2}
\usepackage{siunitx}
\sisetup{input-decimal-markers={,},output-decimal-marker={,}}
\raggedbottom
\allowdisplaybreaks


\begin{document}

\section*{Uppgift 2.1}

\vskip-\abovedisplayskip
\begin{align*}
    & u(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} \\
    & u_{1}=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \quad
  u_{2}=\frac{2y}{2\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \\
    & \nabla u(1,1)=\frac{1}{\sqrt{2}}i+\frac{1}{\sqrt{2}}j, \quad
  |\nabla u|=\sqrt{\left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right) ^2 + \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=1 \\
    & v(x,y)=x+y+2\sqrt{xy} \\
    & v_{1}=1+\frac{2y}{2\sqrt{xy}}=1+\frac{y}{\sqrt{xy}}, \quad
  v_{2}=1+\frac{2x}{2\sqrt{xy}}=1+\frac{x}{\sqrt{xy}} \\
    & \nabla v(1,1)=2i+2j, \quad
  |\nabla v|=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2} \\
    & \text{Grader } \theta \text{ mellan \textbf{u} och \textbf{v}:} \\
    & \theta = \arccos \frac{u\bullet v}{|u||v|} \\
    & \theta = \arccos \left( \frac{\frac{2}{\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}}}{2\sqrt{2}} \right)=\arccos \left(\frac{4}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} \right)=\arccos(1)=0
\end{align*}

\section*{Uppgift 2.2}

\vskip-\abovedisplayskip
\begin{align*}
    & r=a+b, \quad |r|=\sqrt{a^2+b^2}, \quad \nabla r=ai+bj \\
    & u=\sin \left( \sqrt{a^2+b^2} \right), \quad u_{1}=\frac{a \cdot \cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right) }{2\sqrt{a^2+b^2}}, \quad u_{2}=\frac{b \cdot \cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right) }{2\sqrt{a^2+b^2}} \\
    & \nabla u=\frac{\cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right)}{\sqrt{a^2+b^2}}\left(ai+bj \right) \\
    & \frac{ai+bj}{\sqrt{a^2+b^2}}\bullet \frac{\cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right)}{\sqrt{a^2+b^2}}(ai+bj)=\frac{\cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right) \cdot a^2}{a^2+b^2}+\frac{\cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right) \cdot b^2}{a^2+b^2} \\
    & \qquad = \frac{\cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right) \cdot (a^2+b^2)}{a^2+b^2}= \cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right)=\cos (r)
\end{align*}

\section*{Uppgift 2.3}

\vskip-\abovedisplayskip
\begin{alignat*}{2}
  & z(x,y)=6x^2 y^3-6x^2-9y^2+1, \quad \nabla z=(12xy^3-12x, 18x^2 y^2-18y)\\
  & \text{Letar efter nollställen}\\
  & 12x(y^3-1)=0, \quad y=0, \quad x=0 \qquad \ \text{ger } (0,0)\\
  & 18y(x^2y-1)=0, \quad y=0, \quad x=\pm 1 \quad \text{ger } (1,1) \text{ och } (-1,1)\\
  & z_{xx}=12y^3-12, \quad z_{xy}=z_{yx}=36xy^2, \quad z_{yy}=36x^2y-8\\
  & \mathcal{H}=
  \begin{bmatrix}
  z_{xx} & z_{xy}\\
  z_{yx} & z_{yy}
  \end{bmatrix}
  =
  \begin{bmatrix}
  12y^3-12 & 36xy^2\\
  36xy^2 & 36x^2 y-18
  \end{bmatrix} \\
  & (0,0): \mathcal{H} =
  \begin{bmatrix}
  -12 & 0\\
  0 & -18
  \end{bmatrix}
  \quad \det(\mathcal{H})=(-12) \cdot (-18)-0=126 \\
  & \begin{rcases}
  \det(\mathcal{H}) & > 0\\
  f_{xx} & < 0
  \end{rcases}
  \text{Maxpunkt} \\
  & (1,1): \mathcal{H} =
  \begin{bmatrix}
  0 & 36\\
  36 & 18
  \end{bmatrix}
  \quad \det(\mathcal{H})=0-36 \cdot 36=-1296
    & & \det(\mathcal{H}) < 0 \\
  & (-1,1): \mathcal{H} =
  \begin{bmatrix}
  0 & -36\\
  -36 & 18
  \end{bmatrix}
  \quad \det(\mathcal{H})=0-(-36) \cdot (-36)=-1296
    & \enspace & \det(\mathcal{H}) < 0
\end{alignat*}

\section*{Uppgift 2.4}

\vskip-\abovedisplayskip
\begin{align*}
                    & f(x,y)=2x+8y-x^2-4y^2-4, \quad \nabla f=(2-2x, 8-8y) \\
                    & (1,1): \quad
  \begin{rcases}
  f_{xx} & =-2 \\
  \det(\mathcal{H}) & =16
  \end{rcases}
  \text{maxpunkt}
\end{align*}

\section*{Uppgift 2.5}

\vskip-\abovedisplayskip
\begin{align*}
  & f(x,y)=\sqrt{2x^2+3y^2+4} \\
  & 000\text{Första delen}000 \\
  & f_1 = \frac{4x}{2\sqrt{2x^2+3y^2+4}}, \quad f_2 = \frac{6y}{2\sqrt{2x^2+3y^2+4}}, \quad
  f_{12}=f_{21}=\frac{-2x6y}{\left( \sqrt{2x^2+3y^2+4} \right)^2} \\
  \\
  & f_{11} = \frac{2\sqrt{2x^2+3y^2+4}-\frac{2x \cdot 4x}{2\sqrt{2x^2+3y^2+4}}}{\left( 2\sqrt{2x^2+3y^2+4} \right)^2}, \quad
  f_{22}= \frac{3\sqrt{2x^2+3y^2+4}-\frac{3y \cdot 6y}{2\sqrt{2x^2+3y^2+4}}}{\left( 2\sqrt{2x^2+3y^2+4} \right)^2} \\ \\
  & \text{Kollar värden för derivatorna i punkten $(0,0)$} \\
  & f_1=\frac{0}{2}=0, \quad f_2=\frac{0}{2}=0, \quad f_{12}=0, \quad
  f_{11}=\frac{2 \cdot 2-0}{4}=1, \quad f_{22}=\frac{3 \cdot 2-0}{4}=\frac{3}{2} \\
    & \!\begin{aligned} P_2(x,y)= f(a,b) & +f_1(a,b)(x-a) +f_2(a,b)(y-b) \\
  & +\frac{1}{2} \left( f_{11}(x-a)^2+f_{22}(y-b)^2+2f_{12}(x-a)(y-b)\right)
  \end{aligned}\\[1ex]
    & \!\begin{aligned} P_2(x,y) & =2+0x+0y+\frac{1}{2}(x-0)^2+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}(y-0)^2+\frac{1}{2}\cdot2\cdot0(x-0)(y-0) \\
  & =2+\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{4}y^2 \end{aligned}\\
  & P_2(\num{0,1};\num{0,1})=2+\frac{1}{2}(\num{0,1})^2+\frac{3}{4}(\num{0,1})^2=2+\frac{1}{200}+\frac{3}{400}=\frac{805}{400}=\num{2,0125} \\
  & f(\num{0,1};\num{0,1})=\sqrt{2(0,1)^2+3(\num{0,1})^2+4}=\sqrt{\frac{2}{100}+\frac{3}{100}+4}=\sqrt{\frac{405}{100}}=\num{2,01246} \end{align*}

  \section*{Uppgift 2.6}%

  \vskip-\abovedisplayskip
  \begin{align*}
  & f(x,y)=2x+y, \quad g(x,y)=x^2+y^2-5=0 \\
  & L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)=2x+y+\lambda (x^2+y^2-5) \\
  & \frac{\partial L}{\partial x}=2+2x\lambda, \quad
  \frac{\partial L}{\partial y}=1+2y\lambda, \quad
  \frac{\partial L}{\partial \lambda}=x^2+y^2-5 \\
  & \text{Söker efter nollställen genom att sätta derivatorna lika med 0} \\
    & \begin{drcases} & \frac{\partial L}{\partial x}= 0=2(1+x\lambda) \Rightarrow \lambda=-\frac{1}{x} \\
  & \frac{\partial L}{\partial y}=0=1+2y\lambda \Rightarrow \lambda =-\frac{1}{2y}
  \end{drcases} \Rightarrow
  -\frac{1}{x}=-\frac{1}{2y} \Rightarrow 2y=x \Rightarrow y=\frac{x}{2} \\
  & \text{Sätter in resultatet i $\frac{\partial L}{\partial \lambda}=0$} \\
  & 0=y^2+x^2-5 \Rightarrow \frac{x^2}{4}+x^2-5=0 \Rightarrow 0=5x^2-20 \Rightarrow
  4=x^2 \Rightarrow x=\pm 2 \\
  & \text{Det ger} \\
  & y=\frac{\pm2}{2}=\pm1 \text{ och } \lambda=\pm \frac{1}{2} \\
  & \text{Ur det får vi punkterna $(2,1)$ och $(-2,-1)$ vilket ger} \\
  & f(2,1)=4+1=5 \quad \text{och} \quad f(-2,-1)=-4-1=-5
\end{align*}

\end{document}

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Respuesta2

(Desafortunadamente, no puedo proporcionar un ejemplo completo porque tengo problemas con la codificación, pero como el operador está satisfecho con su resultado, daré los detalles más destacados aquí).

el splitsubambiente, comotodosubambientes, siempre se maneja como una caja irrompible. para deshacerse de esa limitación,

  • sustituir equation*por align*,
  • eliminar \begin{split}y \end{split}, y
  • inserte \allowdisplaybreaksen su preámbulo.

Dado que ha comenzado cada línea de visualización con &, eso mantendrá cada línea al ras hacia la izquierda.

Aún tendrás muchos problemas con líneas que sean más anchas que el ancho del texto declarado. verifique cuidadosamente para asegurarse de que no se pierda nada al pasar el borde del papel.

Las posibilidades para dividir líneas de forma inteligente (e inteligible) se describen en la documentación de amsmathy mathtools.

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