\paragraph{*}
So we have that: $$|f_n(x)g_n(x)-f_n(x)g(x) + f_n(x)g(x) - f(x)g(x)|$$
$$\le |f_n(x)g_n(x)-f_n(x)g(x)|+|f_n(x)g(x)-f(x)g(x)|$$
$$=|f_n(x)||g_n(x)-g(x)|+|g(x)||f_n(x)-f(x)|$$
$$\le M_1\epsilon+M_2\epsilon$$
$$=\epsilon(M_1+M_2) \longrightarrow 0$$ as $n\longrightarrow \infty$.
Básicamente, quiero que sea tal que "cuando n tiende al infinito" aparezca en la misma línea que la parte que tiende a 0. ¿Cómo hago esto?
Respuesta1
Tu problema es que eso $$ ... $$te pone en modo displaymath. Esto está destinado a mostrar matemáticas. Cuando incluyes matemáticas $$ ... $$, se colocan en una nueva línea, con un pequeño salto entre las matemáticas mostradas y la línea de arriba. Todo lo que esté fuera del cierre $$irá a una nueva línea, con el mismo pequeño salto entre las matemáticas mostradas y la línea siguiente. Las matemáticas también están centradas. Este es al menos el comportamiento predeterminado.
Lo que haces es salir del modo matemático de visualización y luego agregar as $n\longleftarrow\infty$. Como expliqué anteriormente, esto se pone en una nueva línea. Lo que quieres hacer es permanecer en modo matemático:
\[=\epsilon(M_1+M_2) \longrightarrow 0 \text{ as } n\longrightarrow \infty\]
En realidad, existen algunas formas de incluir texto en modo matemático. Me gusta usar \text{...}, sin embargo, como señala @Werner, esto requiere que cargues el amsmathpaquete. \mbox{...}es una alternativa que también funcionaría.
También recomendaría \tomás \longrightarrowde n \to \infty, pero eso es una cuestión de elección.
En otras noticias,deberías usar \[ ... \]más$$ ... $$, como tengo arriba. Haga clic en el enlace para descubrir por qué.
Sin embargoDicho todo esto, esta no es la mejor manera de utilizar entornos matemáticos de visualización. Quizás considere algo como esto:
\documentclass[12pt]{article}
\pagestyle{plain}
\usepackage[margin=1.8cm]{geometry}
\geometry{a4paper}
\usepackage[parfill]{parskip}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\begin{document}
\[
\begin{aligned}
|f_{n}&(x)g_{n}(x) - f_{n}(x)g(x) + f_{n}(x)g(x) - f(x)g(x)| \\
&\leq |f_{n}(x)g_{n}(x) - f_{n}(x)g(x)| + |f_{n}(x)g(x) -
f(x)g(x)| \\
&= |f_{n}(x)||g_{n}(x) - g(x)| + |g(x)||f_{n}(x) - f(x)| \\
&\leq M_{1}\epsilon + M_{2}\epsilon \\
&= \epsilon(M_1+M_2) \longrightarrow 0 \text{ as } n \to \infty
\end{aligned}
\]
\end{document}
Editar:
O mejor aún, recomiendo encarecidamente las soluciones a mi pregunta de seguimiento aquí:
Mostrar ecuación con un salto de línea y todas las líneas posteriores sangradas