Líneas no tangentes como se esperaba

Question

Tengo dos círculos concéntricos centrados en Odibujado. Las cuerdas LMy MNdel círculo más grande son tangentes al círculo más pequeño en Sy T. Las medidas de angle{SOM}y angle{TOM}son congruentes y miden 80 grados. Según el teorema de la potencia de un punto, si el radio del círculo más pequeño es r, |OM| = r + xy |MS| = |MT| = y,

y² = x(x + 2r).

Entonces, si r = 3/4y x = 3/2, y = (3*sqrt{2})/2. Puesto que triangle{LOM}es congruente con triangle{NOM}, OMbiseca angle{M}.

angle{LMO} = angle{SMO} = 180 - (80 + 90) = 10,

y

angle{NMO} = angle{TMO} = 180 - (80 + 90) = 10.

Todo esto lo tengo codificado en el siguiente TikZdiagrama. ¿Por qué las cuerdas no son tangentes al círculo más pequeño en Sy T?

\documentclass{amsart}
\usepackage{tikz}

\usetikzlibrary{calc,intersections}


\begin{document}

\begin{tikzpicture}

%Two concentric circles are drawn.
%
\coordinate (O) at (0,0);
\draw[fill] (O) circle (1.5pt);
\draw (O) circle (3/4);
\draw (O) circle (9/4);
%
\coordinate (S) at (100:3/4);
\draw[fill] (S) circle (1.5pt);
\coordinate (T) at (-100:3/4);
\draw[fill] (T) circle (1.5pt);
%
\coordinate (M) at (-9/4,0);
%
\coordinate (L) at ($(M) +(20:{3*sqrt(2)})$);
\coordinate (N) at ($(M) +(-20:{3*sqrt(2)})$);
%
\draw (M) -- (L);
\draw (M) -- (N);

%The labels for the points are typeset.
\path node[anchor=west, inner sep=0, font=\footnotesize] at ($(O) +(0.15,0)$){$O$};
\path node[anchor=east, inner sep=0, font=\footnotesize] at ($(M) +(-0.15,0)$){$M$};
\path node[anchor={20+180}, inner sep=0, font=\footnotesize] at ($(L) +(20:0.15)$){$L$};
\path node[anchor={-20+180}, inner sep=0, font=\footnotesize] at ($(N) +(-20:0.15)$){$N$};
\path node[anchor={80-180}, inner sep=0, font=\footnotesize] at ($(S) +(80:0.15)$){$S$};
\path node[anchor={-80+180}, inner sep=0, font=\footnotesize] at ($(T) +(-80:0.15)$){$T$};

\end{tikzpicture}

\end{document}

Answer 1

El número mágico inicial de 80° para los ángulos SOM y TOM es incorrecto si quieres tener tangentes. El ángulo se puede calcular fácilmente mirando el triángulo OSM con un ángulo ortogonal en el punto tangente S (el resultado es aproximadamente 70,5°).

También calcularía las coordenadas de L y N como coordenadas polares con origen O. Esto se puede hacer nuevamente mirando el triángulo MCO que también tiene un ángulo ortogonal en el punto tangente S.

\documentclass{article}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}

\begin{document}
\begin{tikzpicture}

\pgfmathsetmacro\BigRadius{9/4}
\pgfmathsetmacro\SmallRadius{3/4}
% \Angle is the angle part of the polar coordinate of S with origin O
% 180 - acos(\SmallRadius/\BigRadius} = 109.47102
\pgfmathsetmacro\Angle{180 - acos(1/3)}
\pgfmathsetmacro\AngleTwo{2*\Angle - 180}

% Coordinates
\path
  coordinate (O) at (0, 0)
  coordinate (S) at (\Angle:\SmallRadius)
  coordinate (T) at (-\Angle:\SmallRadius)
  coordinate (M) at (-\BigRadius, 0)
  coordinate (L) at (\AngleTwo:\BigRadius)
  coordinate (N) at (-\AngleTwo:\BigRadius)
;

% Two concentric circles and lines
\draw[line join=bevel]
  (O) circle[radius=\SmallRadius]
  (O) circle[radius=\BigRadius]
  (L) -- (M) -- (N)
;

% Points
\fill[radius=1.5pt]
  \foreach \p in {O, S, T, M, L, N} { (\p) circle[] }
;

% The labels
\path[inner sep=0pt, node font=\footnotesize]
  node[anchor=west] at ($(O) +(0.1,0)$){$O$}
  node[anchor=east] at ($(M) +(-0.15,0)$){$M$}
  node[anchor={\AngleTwo+180}] at ($(L) +(20:0.15)$){$L$}
  node[anchor={-\AngleTwo+180}] at ($(N) +(-20:0.15)$){$N$}
  node[anchor={\Angle-180}] at ($(S) +(80:0.15)$){$S$}
  node[anchor={-\Angle+180}] at ($(T) +(-80:0.15)$){$T$}
;
\end{tikzpicture}
\end{document}

Se dan grandes radios y ángulos.

El radio pequeño se puede calcular con el triángulo rectángulo MSO. Debido a que el ejemplo anterior ha utilizado macros, solo es necesario cambiar las definiciones de macro para \Angley :\SmallRadius

\def\Angle{100}
\pgfmathsetmacro\BigRadius{9/4}
% \Angle is the angle part of the polar coordinate of S with origin O
% Then the small radius can be calculated:
% \SmallRadius = \BigRadius * cos(180 - \Angle) = 0.3907
\pgfmathsetmacro\SmallRadius{\BigRadius * cos(180 - \Angle)}
\pgfmathsetmacro\AngleTwo{2*\Angle - 180}

Answer 2

Aquí hay una versión editada del código de mi publicación. Corregí un error en un cálculo que Heiko Oberdiek espió.

\documentclass{amsart}
\usepackage{tikz}

\usetikzlibrary{calc,intersections}


\begin{document}


\begin{tikzpicture}

%Two concentric circles are drawn. $\angle{LMN}$ is an angle inscribed in the bigger circle; its measure is
%20 degrees. The chords are tangent to the smaller circle at S and T. $\triangle{OSM}$ and $\triangle{OTM}$
%are congruent, right triangles. So, OM bisects $\angle{LMN}$, and $\angle{LMO}$ and $\angle{NMO}$ both
%have measure 10 degrees.
%
%r is the radius of the smaller circle. According to the Law of Sines, |OM| = r/sin(10). By the Pythagorean Theorem,
%|MS| = |MT| = (r/sin(10))sqrt{1-sin^{2}(10)} = r*cot(10).
%
\coordinate (O) at (0,0);
\draw[fill] (O) circle (1.5pt);
\draw (O) circle (1);
\draw (O) circle ({cot(10)});
%
\coordinate (S) at (100:1);
\draw[fill] (S) circle (1.5pt);
\coordinate (T) at (-100:1);
\draw[fill] (T) circle (1.5pt);
%
\coordinate (M) at ({-cot(10)},0);
%
\coordinate (L) at ($(M) +(10:{2*cot(10)})$);
\coordinate (N) at ($(M) +(-10:{2*cot(10)})$);
%
\draw (M) -- (L);
\draw (M) -- (N);

%The labels for the points are typeset.
\path node[anchor=west, inner sep=0, font=\footnotesize] at ($(O) +(0.15,0)$){$O$};
\path node[anchor=east, inner sep=0, font=\footnotesize] at ($(M) +(-0.15,0)$){$M$};
\path let \p1=($(L)-(M)$), \n1={atan(\y1/\x1)} in node[anchor={\n1+180}, inner sep=0, font=\footnotesize] at ($(L) +({\n1}:0.15)$){$L$};
\path let \p1=($(M)-(N)$), \n1={atan(\y1/\x1)} in node[anchor={\n1+180}, inner sep=0, font=\footnotesize] at ($(N) +({\n1}:0.15)$){$N$};
\path node[anchor={80-180}, inner sep=0, font=\footnotesize] at ($(S) +(80:0.15)$){$S$};
\path node[anchor={-80+180}, inner sep=0, font=\footnotesize] at ($(T) +(-80:0.15)$){$T$};

\end{tikzpicture}

\end{document}