Cómo escribir una convolución y una transformada de Fourier

Question

Quiero escribir la siguiente ecuación en LaTeX:

\begin{equation}
x(t) \ast h(t) = y(t) 

X(f) H(f) = Y(f) 
\end{equation}

Quiero \astdenotar la convolución. Sé que también existe el \starcomando. ¿Importa cuál uso para representar la convolución? Entonces quiero un símbolo de transformada de Fourier, me refiero a la línea con un círculo coloreado y uno vacío a cada lado, para conectar x(t) y X(f), h(t) y H(f), y(t ) e Y(f) respectivamente. Hay alguna forma de hacer esto ?

Answer 1

El \circledastsímbolo del amssymbpaquete se utiliza normalmente para indicar el proceso de convolución circular.

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\begin{document}

\begin{align*}
x(t) \circledast h(t) &= y(t) \\
X(f) H(f) &= Y(f) 
\end{align*}

\end{document}

Para convolución lineal, una simple *es más apropiada:

\begin{align*}
x(t)*h(t) &= y(t) \\
X(f) H(f) &= Y(f) 
\end{align*}

Para establecer conexiones entre partes de las ecuaciones, el paquete TikZ se puede utilizar con su tikzmarkbiblioteca para marcar ubicaciones para comenzar y finalizar las líneas.

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,tikz}
\usetikzlibrary{arrows.meta,tikzmark}
\begin{document}

\begin{align*}
x\tikzmark{x}(t)*h\tikzmark{h}(t) &= y\tikzmark{y}(t) \\[2em]
X(f) \, H(f) &= Y(f) 
\end{align*}

\begin{tikzpicture}[overlay,remember picture, > = {Circle[open,blue]}]
  \draw [<->] ([yshift=-.7ex]pic cs:x) -- ++(0,-2.2em);
  \draw [<->] ([yshift=-.7ex]pic cs:h) -- ++(0,-2.2em);
  \draw [<->] ([yshift=-.7ex]pic cs:y) -- ++(0,-2.2em);
\end{tikzpicture}

\end{document}

Answer 2

Solo quiero agregar que existe una manera más fácil de obtener el símbolo entre los pares de transformadas de Fourier usando el paquete trfsigns.

\usepackage{trfsigns}
$g(x_1,x_2)* h(x_1,x_2)\laplace G(\omega_1,\omega_2)\cdot H(\omega_1,\omega_2)$