\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
$$\hat{\alpha_1}=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}w_i\cos(y_i-\beta_i\hat{X_i})}{\sum_{i=1}^{n}w_i}$$
$$\rightarrow\dfrac{1}{(2\pi)^n} \left[\dfrac{1}{I_0(\lambda\rho)}\right]^n \exp \sum_{i=1}^{n}\lambda \rho \cos(x_i -X_i)\dfrac{1}{\prod_{i=1}^{n}(c-\eta_1 \cos(y_i-\beta_i X_i)-\eta_2\sin(y_i-\beta_i X_i))}$$
\end{document}
Respuesta1
Debe utilizar \limitspara colocar índices justo debajo y encima de la suma y el signo del producto. (Si fuera tu pregunta)
En lugar de $$...$$deberías usar \[...\], ver¿Por qué es preferible \[ ... \] a $$ ... $$?
Además, cambié \hat{\alpha_1}a \hat{\alpha}_1, luego hatse colocará solo arriba \alpha.
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
\[\hat{\alpha}_1=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}w_i\cos(y_i-\beta_i\hat{X}_i)}{\sum\limits_{i=1}^{n}w_i}\]
\[\rightarrow\dfrac{1}{(2\pi)^n} \left[\dfrac{1}{I_0(\lambda\rho)}\right]^n \exp \sum\limits_{i=1}^{n}\lambda \rho \cos(x_i -X_i)\dfrac{1}{\prod\limits_{i=1}^{n}(c-\eta_1 \cos(y_i-\beta_i X_i)-\eta_2\sin(y_i-\beta_i X_i))}\]
\end{document}