¿Cómo dibujar un triángulo hiperbólico?

Question

¿Alguna idea sobre cómo dibujar esto con Ti?k¿Z? Probé varias cosas, pero nada satisfactorio. Lo que intenté fue hacerlo de la forma más sencilla, es decir,

\begin{tikzpicture}
    \draw (point) arc (angle contitions);
\end{tikzpicture}

Lo que necesito es algo como la imagen:

Intenté usar este código también (deUtilice tikz (por ejemplo) para hacer dibujos en geometría hiperbólica)

    \begin{document}

\newcommand{\hgline}[2]{
\pgfmathsetmacro{\thetaone}{#1}
\pgfmathsetmacro{\thetatwo}{#2}
\pgfmathsetmacro{\theta}{(\thetaone+\thetatwo)/2}
\pgfmathsetmacro{\phi}{abs(\thetaone-\thetatwo)/2}
\pgfmathsetmacro{\close}{less(abs(\phi-90),0.0001)}
\ifdim \close pt = 1pt
    \draw[blue] (\theta+180:1) -- (\theta:1);
\else
    \pgfmathsetmacro{\R}{tan(\phi)}
    \pgfmathsetmacro{\distance}{sqrt(1+\R^2)}
    \draw[blue] (\theta:\distance) circle (\R);
\fi
}

\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) circle (1);
\clip (0,0) circle (1);
\hgline{30}{-30}
\hgline{180}{270}
\hgline{30}{120}
\hgline{0}{180}

\end{tikzpicture}

Pero esto me permite dibujar líneas incrustadas en el disco y cuando intento eliminar el círculo, el código no sirve.

Gracias.

Answer 1

¿Algo como esto?

\documentclass[tikz,border=3.14mm]{standalone}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[font=\sffamily]
 \path (0,0) coordinate (A) (4,1) coordinate (B) (2,-2) coordinate (C);
 \draw[thick,path picture={
 \foreach \X in {A,B,C}
 {\draw[line width=0.4pt] (\X) circle (1);}}] (A) node[left]{$O$} to[bend right=12] 
 (B) node[above right]{$g_2^{-1}\cdot O$} to[bend right=15] 
 (C) node[below]{$g_1^{-1}\cdot O$} to[bend right=20] cycle;
 \node at (barycentric cs:A=1,B=1,C=1) {$<180^\circ$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

EDITAR: Con arcos circulares construidos explícitamente.

\documentclass[tikz,border=3.14mm]{standalone}
\usetikzlibrary{calc}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[font=\sffamily]
 \path (0,0) coordinate (A) (4,1) coordinate (B) (2,-2) coordinate (C);
 \draw[thick,path picture={
 \foreach \X in {A,B,C}
 {\draw[line width=0.4pt] (\X) circle (1);}}]
 let \p1=($(B)-(A)$),\p2=($(C)-(B)$),\p3=($(C)-(A)$),
 \n1={atan2(\y1,\x1)},\n2={atan2(\y2,\x2)},\n3={atan2(\y3,\x3)},
 \n4={veclen(\y1,\x1)},\n5={veclen(\y2,\x2)},\n6={veclen(\y3,\x3)} in
 (A) node[left]{$O$}  arc(-90-15+\n1:-90+15+\n1:{\n4/(2*sin(15))})
 --(B) node[above right]{$g_2^{-1}\cdot O$} 
  arc(-90-15+\n2:-90+15+\n2:{\n5/(2*sin(15))})
 --(C) node[below]{$g_1^{-1}\cdot O$} 
 arc(90-15+\n3:90+15+\n3:{\n6/(2*sin(15))}) -- cycle;
 \node at (barycentric cs:A=1,B=1,C=1) {$<180^\circ$};
\end{tikzpicture}
\end{document}