Modelado de triángulos inscritos generados aleatoriamente

Question

El problema que estoy modelando.: Se eligen tres puntos al azar en un círculo. ¿Cuál es la probabilidad de que el triángulo formado por estos tres puntos contenga el centro del círculo?

Comprensión conceptual: Supongamos que fijamos dos de los tres puntos, llamémoslos A y B. Para que el triángulo contenga el centro, el tercer punto C debe estar dentro del arco A'B', donde A' y B' son la imagen de puntos A y B respectivamente bajo una rotación de 180 grados.

lo que quiero que pase: El triángulo inscrito generado aleatoriamente se rellenará de verde cuando contenga el centro y de rojo cuando no contenga el centro. También me gustaría llevar la cuenta del número de éxitos y fracasos para calcular una probabilidad experimental.

Algunas cosas clave: Tengo acceso a las coordenadas xey de cada punto usando \pgfextractxy \pgfextracty. Mi método fue probar si el punto C está entre las coordenadas x e y de A y B usando \xintifboolexpr, sin embargo, esto es defectuoso.

Ejemplo de trabajo mínimo:

\documentclass{article}
\usepackage[left=2cm, right=2cm, top=2cm, bottom=1cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amsfonts,tikz,xintexpr,calc}

\newcommand\circletest{
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]

    \newdimen{\tempxa}
    \newdimen{\tempya}
    \newdimen{\tempxb}
    \newdimen{\tempyb}
    \newdimen{\tempxc}
    \newdimen{\tempyc}

    \def\radius{2}
    \draw (0,0) coordinate (O);
    \draw (O) circle[radius=\radius];
    \draw (rnd*360:\radius) coordinate (A);
        \pgfextractx\tempxa{\pgfpointanchor{A}{center}}
        \pgfextracty\tempya{\pgfpointanchor{A}{center}}
    \draw (rnd*360:\radius) coordinate (B);
        \pgfextractx\tempxb{\pgfpointanchor{B}{center}}
        \pgfextracty\tempyb{\pgfpointanchor{B}{center}}
    \draw (rnd*360:\radius) coordinate (C);
        \pgfextractx\tempxc{\pgfpointanchor{C}{center}}
        \pgfextracty\tempyc{\pgfpointanchor{C}{center}}

    \xintifboolexpr { (((\tempxc > -\tempxa) && (\tempxc < -\tempxb)) || ((\tempxc > -\tempxb) && (\tempxc < -\tempxa))) && (((\tempyc > -\tempya) && (\tempyc < -\tempyb)) || ((\tempyc > -\tempyb) && (\tempyc < -\tempya)))} %%I know this is grotesque 
     {\filldraw[color=green!80!black!100, fill=green!15] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;} %true
      {\filldraw[color=red!80!black!100, fill=red!15] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;} %false

    \fill[black] (A) circle[radius=2pt];
    \fill[black] (B) circle[radius=2pt];
    \fill[black] (C) circle[radius=2pt];
    \fill[black] (O) circle[radius=2pt];

    \draw (A) node[below]{A};
    \draw (B) node[below]{B};
    \draw (C) node[below]{C};
\end{tikzpicture}}

\begin{document}

\foreach \x in {0,1,...,11}{
    \circletest
}


\end{document}

El problema que estoy teniendo: Claramente, mi operador de comparación \xintifboolexpr, junto con mi código grotesco que lo sigue, es el problema. Estoy buscando un método más simple para saber si el punto C está a lo largo del arco del círculo entre (-\tempax,-\tempay)y (-\tempbx,-\tempby).

EDITAR: Una solución correcta a partir de la sugerencia de Sandy G.

\documentclass{article}
\usepackage[left=2cm, right=2cm, top=2cm, bottom=1cm]{geometry}
\usepackage{amsmath,amsfonts,tikz,xintexpr,calc}
\usepackage{xfp}

\newcommand\circletest{
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]

    \pgfmathsetmacro{\rndA}{rnd*360}
    \pgfmathsetmacro{\rndB}{rnd*360}
    \pgfmathsetmacro{\rndC}{rnd*360}

    %defining x and y coordinates of each point

    \def\radius{2}
    \def\xa{\fpeval{\radius*cosd(\rndA)}}
    \def\ya{\fpeval{\radius*sind(\rndA)}}
    \def\xb{\fpeval{\radius*cosd(\rndB)}}
    \def\yb{\fpeval{\radius*sind(\rndB)}}
    \def\xc{\fpeval{\radius*cosd(\rndC)}}
    \def\yc{\fpeval{\radius*sind(\rndC)}}

   %calculating side lengths of triangle
   \def\A{\fpeval{sqrt((\xb-\xc)^2 + (\yb-\yc)^2)}}
   \def\B{\fpeval{sqrt((\xa-\xc)^2 + (\ya-\yc)^2)}}
   \def\C{\fpeval{sqrt((\xa-\xb)^2 + (\ya-\yb)^2)}}

   %calculating angles of triangle
   \def\angleA{\fpeval{acosd((\B^2 + \C^2 -\A^2)/(2*\B*\C))}}
   \def\angleB{\fpeval{acosd((\C^2 + \A^2 -\B^2)/(2*\C*\A))}}
   \def\angleC{\fpeval{acosd((\A^2 + \B^2 -\C^2)/(2*\A*\B))}}

   %defining some coordinates
    \draw (0,0) coordinate (O);
    \draw (O) circle[radius=\radius];
    \draw (\xa,\ya) coordinate (A);
    \draw (\xb,\yb) coordinate (B);
    \draw (\xc,\yc) coordinate (C);

   %test if center is in circle
    \xintifboolexpr{((\angleA < 90) && (\angleB < 90)) && (\angleC < 90)}
     {\filldraw[color=green!80!black!100, fill=green!15] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;} %true
     {\filldraw[color=red!80!black!100, fill=red!15] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;} %false

   %Drawing points on top of line
    \draw[fill=black] (\xa,\ya) circle(1.5pt);
    \draw[fill=black] (\xb,\yb) circle(1.5pt);
    \draw[fill=black] (\xc,\yc) circle(1.5pt);
    \draw[fill=black] (O) circle(1.5pt);

\end{tikzpicture}}

\begin{document}

\foreach \x in {0,1,...,30}{
    \circletest
}

\end{document}

Answer 1

Se puede utilizar la calcbiblioteca yesta receta, que es muy parecido al tuyo pero quizás un poco más corto. El uso de la calcbiblioteca también nos permite evitar introducir nuevas dimensiones. Definir a pictiene la ventaja de que puedes usar TikZ para organizar los dibujos como quieras.

\documentclass{article}
\usepackage[left=2cm, right=2cm, top=2cm, bottom=1cm]{geometry}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\begin{document}
What is the probability for the triangle containing the origin? Without loss of
generality we can take the angle of $A$ to be 0 (because one can rotate the
setup without changing the probability). Then the angle of $B$, $\beta$ can be
chosen to be between $0$ and $\pi$ (because one can reflect the setup at the
$x$--axis without changing the probability). Then the angle of $C$, 
 $\gamma$, needs to satisfy
\[ \pi<\gamma<\pi+\beta \] 
for the center to be inside the triangle, see Figure~\ref{fig:derivation}.
As $\beta$ scans the domain $[0,\pi]$, the probability for a triangle with
corners at random positions of the circle enclosing the center of the circle is
$1/4$. 
\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}[dot/.style={circle,inner sep=1pt,fill},
    declare function={rr=2.5;}]
 \begin{scope}
  \draw (0,0) circle[radius=rr] (0,0) -- (rr,0) node[dot,label=right:$A$]{};
  \pgfmathsetmacro{\rndB}{rnd*90}
  \draw (1,0) arc[start angle=0,end angle=\rndB,radius=1] 
    node[midway,anchor=180+\rndB/2,circle]{$\beta$}
  (0,0) -- (\rndB:rr) node[dot,label={[anchor=\rndB+180]:$B$}]{};
  \draw[dashed] (180+\rndB:rr) -- (0,0) -- (180:rr);
  \draw[blue,thick] (180:rr) arc[start angle=180,end angle=180+\rndB,radius=rr]
  node[midway,anchor=\rndB/2,circle,align=right]{allowed\\ positions\\ for $C$};
 \end{scope}
 %
 \begin{scope}[xshift=2.8*rr*1cm]
  \draw (0,0) circle[radius=rr] (0,0) -- (rr,0) node[dot,label=right:$A$]{};
  \pgfmathsetmacro{\rndB}{90+rnd*90}
  \draw  (1,0) arc[start angle=0,end angle=\rndB,radius=1] 
    node[midway,anchor=180+\rndB/2,circle]{$\beta$}
    (0,0) -- (\rndB:rr) node[dot,label={[anchor=\rndB+180]:$B$}]{};
  \draw[dashed] (180+\rndB:rr) -- (0,0) -- (180:rr);
  \draw[blue,thick] (180:rr) arc[start angle=180,end angle=180+\rndB,radius=rr]
  node[midway,anchor=\rndB/2,circle,align=right]{allowed\\ positions\\ for $C$};
 \end{scope}
\end{tikzpicture}
\label{fig:derivation}
\end{figure}

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}[pics/circletest/.style={code={
        \tikzset{circletest/.cd,#1}%
        \def\pv##1{\pgfkeysvalueof{/tikz/circletest/##1}}%
        \draw (0,0) coordinate (O) circle[radius=\pv{r}];
        \pgfmathsetmacro{\rndA}{rnd*360}
        \pgfmathsetmacro{\rndB}{rnd*360}
        \pgfmathsetmacro{\rndC}{rnd*360}
        \path (\rndA:\pv{r}) coordinate[label={[anchor=\rndA+180]:$A$}] (A)
         (\rndB:\pv{r}) coordinate[label={[anchor=\rndB+180]:$B$}] (B) 
         (\rndC:\pv{r}) coordinate[label={[anchor=\rndC+180]:$C$}] (C);
        \draw let \p1=(A),\p2=(B),\p3=(C),\p0=(O),
         \n1={(\x0-\x2)*(\y1-\y2)-(\x1-\x2)*(\y0-\y2)},
         \n2={(\x0-\x3)*(\y2-\y3)-(\x2-\x3)*(\y0-\y3)},
         \n3={(\x0-\x1)*(\y3-\y1)-(\x3-\x1)*(\y0-\y1)}
         in \pgfextra{\pgfmathtruncatemacro\itest{%
            ((\n1 < 0) || (\n2 < 0) || (\n3 < 0)) &&
            ((\n1 > 0) || (\n2 > 0) || (\n3 > 0))}}
         \ifnum\itest=0
          [color=green!80!black!100, fill=green!15] (A) -- (B) -- (C) -- cycle
         \else
          [color=red!80!black!100, fill=red!15]  (A) -- (B) -- (C) -- cycle
         \fi;
        \fill (O) circle[radius=1pt] node[below]{$O$}; 
    }},circletest/.cd,r/.initial=1]
 \path foreach \X in {1,...,5}
 {  foreach \Y in {1,...,5} {(3*\X,3*\Y) pic{circletest}}}; 
\end{tikzpicture}
\end{figure}

\end{document}

Una propuesta alternativa basada en las intersecciones. Construya un rayo que salga del círculo desde su centro. Si el número de intersecciones con el triángulo es par, el centro está fuera del triángulo; en caso contrario, está dentro.

\documentclass{article}
\usepackage[left=2cm, right=2cm, top=2cm, bottom=1cm]{geometry}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{intersections}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[pics/circletest/.style={code={
        \tikzset{circletest/.cd,#1}%
        \def\pv##1{\pgfkeysvalueof{/tikz/circletest/##1}}%
        \draw (0,0) coordinate (O) circle[radius=\pv{r}];
        \pgfmathsetmacro{\rndA}{rnd*360}
        \pgfmathsetmacro{\rndB}{rnd*360}
        \pgfmathsetmacro{\rndC}{rnd*360}
        \path (\rndA:\pv{r}) coordinate[label={[anchor=\rndA+180]:$A$}] (A)
         (\rndB:\pv{r}) coordinate[label={[anchor=\rndB+180]:$B$}] (B) 
         (\rndC:\pv{r}) coordinate[label={[anchor=\rndC+180]:$C$}] (C);
        \path[name path=triangle] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
        \path[name path=ray,overlay] (O) -- ({180+(\rndA+\rndB+\rndC)/3}:1.5*\pv{r});
        \draw[name intersections={of=triangle and ray,total=\t}]
         \ifodd\t
          [color=green!80!black!100, fill=green!15] (A) -- (B) -- (C) -- cycle
         \else
          [color=red!80!black!100, fill=red!15]  (A) -- (B) -- (C) -- cycle
         \fi;
    }},circletest/.cd,r/.initial=1]
 \path foreach \X in {1,...,5}
 {  foreach \Y in {1,...,5} {(3*\X,3*\Y) pic{circletest}}}; 
\end{tikzpicture}
\end{document}

Este enfoque está limitado por la precisión de las intersecciones y puede fallar si el triángulo es demasiado delgado, es decir, esencialmente una línea.

PD: Estas distribuciones son consistentes con la probabilidad real.

Answer 2

Para satisfacer mi curiosidad sobre la probabilidad experimental, hice esto en metapost. Parece que se necesitan alrededor de 100.000 triángulos para obtener consistentemente la probabilidad teórica (es decir, 1/4) con 3 decimales. Si comenta los comandos de dibujo para simplemente imprimir el resultado, entonces 1.000.000 de ejecuciones solo tomarán unos segundos. Una parte de la producción de 20.000 triángulos inscritos en círculos de 1 mm:

Corre con lualatex:

\documentclass{article}
\usepackage{luamplib}
\usepackage{geometry}
\mplibnumbersystem{double}
\mplibtextextlabel{enable}
\mplibcodeinherit{enable}
\begin{document}
\begin{mplibcode}
    vardef triarray(expr r,n)=
        save x,tmp,width;
        width:=\mpdim{\linewidth} div r;
        count:=0;
        tot:=n;
        for j=0 upto n:
            % for the grid
            drawoptions(withpen pencircle scaled .1bp shifted ((r+.1)*(j mod width),-(r+.1)*(j div width)));
            for i=1 upto 3: x[i]:=uniformdeviate(8); endfor;
            % sort vals, probably didn't need to, but made things tidier.
            if x1>x2: 
                tmp:=x1; x1:=x2; x2:=tmp; 
            fi;
            if x2>x3:
                tmp:=x2; x2:=x3; x3:=tmp;
                if x1>x2:
                    tmp:=x1; x1:=x2; x2:=tmp; 
                fi;
            fi;
            % end sort
            % points on a circle in mp are mapped to the interval [0,8] with 0->0 and 8->360
            % reflected points rather than rotating arc
            if ((x1+4) mod 8>x2) and ((x1+4) mod 8<x3) and ((x3+4) mod 8>x1) and ((x3+4) mod 8<x2):
                fill fullcircle scaled r withcolor .2[white,green];
                count:=count+1;
            else:
                fill fullcircle scaled r withcolor .2[white,red];
            fi;
            % uncomment below for the triangles
            draw for i=1 upto 3: point x[i] of (fullcircle scaled r)-- endfor cycle; 
        endfor;
    enddef;
    beginfig(0);

    triarray(1mm,20000);

    endfig;
\end{mplibcode}
\begin{mplibcode}
beginfig(1);
        picture p; string s;
        s="$\frac{"&decimal(count)&"}{"&decimal(tot)&"}="&decimal(count/tot)&"$";
        p= s infont defaultfont scaled defaultscale;
        draw p;
endfig;
\end{mplibcode}
\end{document}