Cómo dibujar un límite sombreado usando TikZ

Question

¿Cómo puedo dibujar una región sombreada simple como la que se muestra a continuación usando TikZ?

La región sombreada delimitada por la ecuación.

r1r2r3 - r1 - r2 - r3 + 2cos(theta)

y es r1=r2=r3=4. El límite cambiará ligeramente para diferentes valores de theta. A los efectos de esto, podemos suponer theta=0.

La idea aquí es usar TikZ con ciertas funciones y fillbetweencomandos, pero esto resulta complicado para los gráficos 3D. Este ejemplo podría usarse para trazar límites más complicados.

¡Cualquier consejo/publicación relevante sería útil!

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Lo ideal sería una solución que solo use TiKZ y no pstricks.

Answer 1

Creo que las superficies implícitas se pueden dibujar en Ti.kZ cuando se pueden dibujar las curvas de nivel (u otras secciones de hiperplano). para la superficiexyz - x - y - z + 2 = 0(de hecho, para cualquier valor dethetaen la pregunta), las curvas de nivel son hipérbolas y no es difícil dibujarlas.

Algunos comentarios

1. Cambié las coordenadas para tener el punto singular en el origen, es decir, consideré la superficie definida porxyz + xy + yz + zx = 0. Es sólo una traducción del anterior.

2. Viendo el ejemplo que me dieron, representé sólo una "hoja" de la superficie; explícitamente consideré la porción de la superficie que vive en el cubo[-1, 5]^3y que es barrido por una sola rama de cadaz=hhipérbola.

3. Paraz=0la hipérbola degenera en la unión de dos líneas. Paraz=-1vuelve a degenerar en dos líneas, pero una está en el infinito. Por estas razones, el dibujo de la curva de nivel depende del signo dez. en el barrio de-1las cosas son más sutiles desde los límites de TikZ son de fácil acceso. Por ejemplo, si la primera \foreachse realiza para \i=1o \i=2, las curvas obtenidas no son "reales" (o al menos las pretendidas).

4. El código puede parecer largo, pero lo que cuenta son los dos primeros \foreachcomandos que dibujan elz=hcurvas de nivel. Después simplemente se copian y modifican para obtener elx=hyy=hcurvas de nivel.

5. Cada rama de una hipérbola se dibuja como una curva parametrizada; los límites del parámetro se calculan para obtener solo la porción dentro del cubo.

El código

\documentclass[margin=.5cm]{standalone}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{math}
\usepackage{tikz-3dplot}
\usetikzlibrary{3d}
\usetikzlibrary{arrows.meta}

\begin{document}

\xdefinecolor{Cy}{RGB}{17, 170, 187}
\xdefinecolor{VB}{RGB}{102, 25, 240}

\tikzmath{
  integer \N-, \N+;
  \N- = 12;
  \N+ = 50;
  real \a;
  \a = 5;
}
\tikzset{
  pics/level curve+/.style args={height=#1, varbound=#2, color=#3}{%
    code={%
      \draw[#3, variable=\t, domain=-#2:#2, samples=40]
      plot ({#1/(#1 +1)*(exp(\t) -1)}, {#1/(#1 +1)*(exp(-\t) -1)});
    }
  },
  pics/level curve-/.style args={height=#1, varbound=#2, color=#3}{%
    code={%
      \draw[#3, variable=\t, domain=-#2:#2, samples=40]
      plot ({-#1/(#1 +1)*(exp(\t) +1)}, {-#1/(#1 +1)*(exp(-\t) +1)});
    }
  }
}
\begin{tikzpicture}
  \tdplotsetmaincoords{76}{67}
  \begin{scope}[tdplot_main_coords]
    % axes first part
    \draw (-1, 0, 0) -- (\a +.2, 0, 0);
    \draw (0, -1, 0) -- (0, \a +.2, 0);
    \draw (0, 0, -1) -- (0, 0, \a +.2);
    
    %%% $z=h$ level curves
    % close to $0^-$
    \foreach \i
    [evaluate=\i as \h using {-(\N- +1 -\i)/(\N- +1))*\a/(\a +1)},
    evaluate=\i as \b using {ln(-(\h +1)*\a/\h -1)}]
    in {1, 2, 3, 4, ..., \N-}{
      \path[canvas is xy plane at z=\h, transform shape] (0, 0)
      pic {level curve-={height=\h, varbound=\b, color=Cy}};
    }    

    % $h=0$
    \draw[Cy, canvas is xy plane at z=0] (0, \a) |- (\a, 0);

    % $h>0$
    \foreach \i
    [evaluate=\i as \h using {(\i/\N+)*\a},
    evaluate=\i as \b using {ln((\h +1)*\a/\h +1)}]
    in {1, 2, ..., \N+}{
      \path[canvas is xy plane at z=\h, transform shape] (0, 0)
      pic {level curve+={height=\h, varbound=\b, color=Cy}};
    }

    %%% $y=h$ level curves
    % close to $0^-$
    \foreach \i
    [evaluate=\i as \h using {-(\N- +1 -\i)/(\N- +1))*\a/(\a +1)},
    evaluate=\i as \b using {ln(-(\h +1)*\a/\h -1)}]
    in {3, 4, ..., \N-}{
      \path[canvas is xz plane at y=\h, transform shape] (0, 0)
      pic {level curve-={height=\h, varbound=\b, color=Cy}};
    }    

    % $h=0$
    \draw[Cy, thin, canvas is xz plane at y=0] (0, \a) |- (\a, 0);
    
    % $h>0$
    \foreach \i
    [evaluate=\i as \h using {(\i/\N+)*\a},
    evaluate=\i as \b using {ln((\h +1)*\a/\h +1)}]
    in {1, 2, ..., \N+}{
      \path[canvas is xz plane at y=\h, transform shape] (0, 0)
      pic {level curve+={height=\h, varbound=\b, color=Cy}};
    }

    %%% $x=h$ level curves
    % close to $0^-$
    \foreach \i
    [evaluate=\i as \h using {-(\N- +1 -\i)/(\N- +1))*\a/(\a +1)},
    evaluate=\i as \b using {ln(-(\h +1)*\a/\h -1)}]
    in {3, 4, ..., \N-}{
      \path[canvas is yz plane at x=\h, transform shape] (0, 0)
      pic {level curve-={height=\h, varbound=\b, color=Cy}};
    }    

    % $h=0$
    \draw[VB, canvas is yz plane at x=0] (0, \a) |- (\a, 0);
    
    % $h>0$
    \foreach \i
    [evaluate=\i as \h using {(\i/\N+)*\a},
    evaluate=\i as \b using {ln((\h +1)*\a/\h +1)}]
    in {1, 2, ..., \N+}{
      \path[canvas is yz plane at x=\h, transform shape] (0, 0)
      pic {level curve+={height=\h, varbound=\b, color=VB}};
    }

    %%% axes second part
    \begin{scope}[arrows={->[length=1ex, width=1.5ex]}]
      \draw (\a, 0, 0) -- (\a +2, 0, 0)  node[pos=1.2] {$x$};
      \draw (0, \a, 0) -- (0, \a +2, 0)  node[pos=1.2] {$y$};
      \draw (0, 0, \a) -- (0, 0, \a +2)  node[pos=1.2] {$z$};          
    \end{scope}
  \end{scope}
\end{tikzpicture}

\end{document}