Dibujo de celosía de código tórico

Question

Estoy escribiendo mi tesis sobre el código tórico con Overleaf, y para eso me gustaría dibujar:

1. una figura de la red con un ejemplo de los operadores plaqueta y vértice
2. una figura de la red con un ejemplo de los operadores de cadena
3. una figura del toroide con la cuadrícula dibujada en la superficie del toroide

He estado investigando un poco y esto¿Cómo trazar una red de puntos en la superficie de un toroide?La pregunta ha sido muy útil para la figura 3), pero no sé cómo cambiar las flechas en la superficie por líneas para crear la cuadrícula. Copio el código y la diferencia que me gustaría hacer:

\documentclass[twocolumn]{revtex4}
\usepackage[inline]{asymptote}
\begin{document}
\begin{figure}[h]
\centering
\begin{asy}[width=5cm,height=5cm]
size(200);
import graph3;

pen surfPen=rgb(1,0.7,0);
pen xarcPen=deepblue+0.7bp;
pen yarcPen=deepred+0.7bp;

currentprojection=perspective(5,4,4);

real R=2;
real a=1;

triple fs(pair t) {
  return ((R+a*Cos(t.y))*Cos(t.x),(R+a*Cos(t.y))*Sin(t.x),a*Sin(t.y));
}

surface s=surface(fs,(0,0),(360,360),8,8,Spline);
draw(s,surfPen,render(compression=Low,merge=true));

int m=20;
int n=10;
real arcFactor=0.85;

pair p,q;

for(int i=1;i<=n;++i){
  for(int j=0;j<m;++j){
    p=(j*360/m,(i%n)*360/n);
    q=(((j+arcFactor)%m)*360/m,i*360/n);
    draw(fs(p)..fs((p+q)/2)..fs(q),xarcPen,Arrow3(size=4));
    q=(j*360/m,((i%n)-arcFactor)*360/n);
    draw(fs(p)..fs((p+q)/2)..fs(q),yarcPen,Arrow3(size=3));
    dot(fs(p));
  }
}
\end{asy}
\end{figure}
\end{document}

Realmente solo quiero cambiar "Flecha3" mediante algún comando que cambie las flechas por líneas.

Respecto a las figuras 1) y 2), y para aquellos que no estén familiarizados con el código tórico, esta imagen del artículohttps://www.physics.rutgers.edu/grad/602/Lectures/JC_Presentations/0419/Intro_Toric_Code.pdfes un ejemplo perfecto:

Así que una figura como esta estaría genial (aunque obviamente no quiero copiarla).

No me importa si se hace con tikz, asíntota o cualquier otra aplicación que pueda ser útil. ¿Alguna ayuda o documentación que pueda ser útil? Muchas gracias.