El siguiente código (que utiliza el pict2epaquete) parece hacer lo que pretendía, pero quiero editar un poco más y agregar algunas otras líneas y etiquetar los ángulos de manera diferente.
Cuando los ángulos son adyacentes entre sí (comparten un vértice común), la claridad sobre qué pares de rayos que emanan de un vértice corresponden a qué etiquetas que dan nombres de ángulos se puede lograr mediante un arco entre los dos rayos y centrado en el vértice, con el etiqueta de ángulo entre el arco y el vértice, y puntas de flecha en cada extremo del arco para dejar claro qué dos rayos limitan el arco que lleva esa etiqueta.
¿Existe alguna forma sencilla de dibujar esos arcos con puntas de flecha?
\documentclass{article}
\usepackage{pict2e}
\begin{document}
\begin{figure}[h]
\setlength{\unitlength}{0.5mm}
\begin{picture}(200,180)(-35,0)
\label{hexagon}
\put(90,100){\circle{180}} % left big circle
\put(90,190){\circle*{4}} % dot at top of circle
\put(144,172){\circle*{4}} % dot at
\put(162,46){\circle*{4}} % dot at
\put(90,10){\circle*{4}} % dot at bottom of circle
\put(0,100){\circle*{4}}
\put(36,172){\circle*{4}}
\put(90,10){\line(-1,1){90}} % line
\put(0,100){\line(1,2){36}}
\put(36,172){\line(3,1){54}}
\put(90,190){\line(3,-1){54}}
\put(144,172){\line(1,-7){18}}
\put(90,10){\line(2,1){72}}
\put(0,100){\line(1,1){90}}
\put(0,100){\line(2,1){144}}
\put(0,100){\line(3,-1){162}}
\put(90,10){\line(-1,3){54}}
\put(90,10){\line(0,1){180}}
\put(90,10){\line(1,3){54}}
\put(15,121){$\delta$}
\put(20,115){$\gamma$}
\put(22,100){$\beta$}
\put(18,85){$\alpha$}
\put(103,26){$\beta$}
\put(92,34){$\gamma$}
\put(85,34){$\delta$}
\put(75,30){$\varepsilon$}
\put(36,172){\line(1,0){108}}
\put(36,172){\line(1,-1){126}}
\put(90,190){\line(1,-2){72}}
\put(149,76){$\gamma$}
\put(140,71){$\delta$}
\put(135,59){$\varepsilon$}
\put(137,42){$\zeta$}
\put(113,173){$\delta$}
\put(116,164){$\varepsilon$}
\put(127,152){$\zeta$}
\put(139,146){$\alpha$}
\end{picture}
\caption{}
\label{diagonals}
\end{figure}
\end{document}
