대출에 대한 고정된 월간 인출액을 고려하도록 Excel PMT 기능을 수정하고 싶습니다. 예를 들어, 대출이 신용 카드인 경우 카드 소지자는 매달 돈을 쓰고 이로 인해 대출금을 상환하는 데 필요한 월별 지불액이 변경됩니다.
이 답변은 PMT 함수의 방정식을 다음과 같이 지정합니다 P = (Pv*R) / [1 - (1 + R)^(-n)].https://superuser.com/a/871411
고정된 월별 하락폭을 포함하도록 이 공식을 어떻게 수정할 수 있습니까?
예를 들어, 대출이 신용 카드이고 카드 소지자가 매월 카드에 50달러를 지출하는 경우 이를 설명하기 위해 위 공식을 어떻게 수정합니까? 대출 기간은 동일하게 유지되어야 하지만, 월별 손실액도 고려하여 대출금을 갚는 데 필요한 새로운 월별 지불금을 계산하고 싶습니다.
답변1
이러한 기능은 PMT사용자가 Excel의 재무 계산 기능에 기초가 되는 수학을 이해하지 못하도록 보호합니다. 인용된 표현식 유형을 얻으려면https://superuser.com/a/871411이러한 수학을 이해한 다음 설명된 시나리오를 처리하기 위해 이를 적용하는 것이 필요합니다.
관련된 기본 수학적 관계는 다음과 같습니다.
v(i+1) = v(i)*(1+r) - p
v(1) = L
v(n+1) = 0
여기서 L 금액을 n 기간 동안 기간당 r의 이자율로 차입하고 p 금액을 지불했습니다.각 기간이 끝날 때. v(i)는 i번째 기간이 시작되는 시점의 미결제 대출 금액입니다.
첫 번째 관계(방정식)
v(i+1) = v(i)*(1+r) - p
즉, 간단히 말해서 기간 i의 시작 시 미결제 금액에 기간 i 동안 발생한 이자를 추가하여 기간 i 종료 시 지불한 금액만큼 감소하여 다음 시작 시의 미결제 금액을 구한다는 것입니다. 기간(기간 i+1).
다른 두 방정식은 단순히 대출의 시작 및 종료 조건을 나타냅니다.
지불 p가 각 기간의 시작(끝이 아닌)에 이루어지면 첫 번째 방정식은 다음과 같이 변경됩니다.
v(i+1) = (v(i)-p)*(1+r) 및 v (i) 기간 i 시작 시 미결제 금액입니다.결제 p가 이루어지기 직전.
L, r, n을 기준으로 p를 결정하는 아래 분석에서는 지급이 각 기간 말에 이루어진다고 가정합니다.
수학적 분석
이는 연속된 기간 동안의 미결제 대출 금액 간의 관계에서 시작됩니다
v(i+1) = v(i)*(1+r) - p [수학식 1]
방정식 1은 모든 기간에 적용되므로 다음과 같습니다.
v(i+2) = v(i+1)*(1+r) - p
이제 이 두 번째 방정식에서 v(i+1)을 대체하기 위해 방정식 1을 사용하면 다음과 같은 결과가 나옵니다.
v(i+2) = (v(i)*(1+r) - p) * (1+r) - p
이를 약간 다시 정리하면
v(i+2) = v(i)*(1+r)^2 - p * ((1+r) + 1) [수학식 2] 와 같이 쓸 수 있습니다.
다시 말하면, 방정식 1로부터 다음과 같습니다:
v(i+3) = v(i+2)*(1+r) - p
따라서 방정식 2를 사용하여 v(i+2)를 대체하면 다음이 생성됩니다.
v(i+3) = (v(i)*(1+r)^2 - p * ((1+r) + 1)) * (1+r) - p
v(i+3) = v(i)*(1+r)^3 - p * ((1+r)^2 + (1+r) + 1) 이는 [수학식 3] 과 같이 다시 정리할 수 있다.
방정식 1, 2 및 3은 각각 v(i+1), v(i+2) 및 v(i+3)를 v(i), r 및 p로 표현합니다. 일반 방정식 m을
v(i+m) = v(i)*(1+r)^m - p * ((1+r)^(m-1) + (1+r)^(m-2) + ... + (1+r) + 1)[수학식 m] 으로 작성하는 데 사용할 수 있는 방정식 1, 2, 3에는 창발 패턴(*)이 있습니다.
p가 곱하는 인수는 거꾸로 쓰여진 유한 기하 급수입니다. 기하급수(Google it)는 각 연속 항이 이전 항에 일정한 양을 곱한 합계입니다.
일반적인 유한 기하 급수에 대해 작성됨
S(m) = 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^(m-1)
이라는 유명한 표현이 있는데
S(m) = (x^m - 1)/(x - 1)
방정식 m에서 기하 급수는 거꾸로 쓰여지고 x = 1+r이므로 방정식은 다음과 같이 단순화될 수 있습니다.
v(i+m) = v(i)*(1+r)^m - p((1+r)^m - 1)/(1+r - 1))
또는 최종 분모 항
v(i+m) = v(i)*(1+r)^m - p((1+r)^m - 1))/r [방정식 m'] 을 단순화합니다.
이제, 일반 값 m을 주기 n의 수로 설정하고, i를 1로 설정하고 경계 조건에 유의하십시오
v(1) = L .
v(n+1) = 0
이렇게 하면 다음과 같은 방정식 m'이 제공됩니다.
0 = L*(1+r)^n - p((1+r)^n - 1)/r
약간의 재배열을 통해 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
p = (L * r * (1+r)^n)/((1+r)^n - 1)
또는 오른쪽의 분자와 분모를 (1+r)^n으로 나눕니다.
p = (L*r)/(1 - (1+r)^(-n)) [p에 대한 방정식]
이는 사실상 이전에 찾은 공식입니다.
추가 차입이 있는 시나리오
여기서는 각 기간(첫 번째 기간 포함)이 시작될 때 추가 금액 b를 차입했다고 가정합니다. v(i)는 이제 시작 기간 i에 미결제 대출 금액입니다.금액 b가 대출에 추가되기 직전.
관계는 이제
v(i+1) = (v(i)+b)*(1+r) - p
v(1) = L
v(n+1) = 0
위에서 설명한 것과 동일한 종류의 분석을 적용하면 방정식 m'이 다음과 같이 유추됩니다.
v(i+m) = v(i) * (1+r)^m + b * (1+r)*((1+r)^m - 1)/r - p * ((1+r)^m -1)/r
시작 및 종료 조건을 적용한 후 약간의 조작을 통해 다음과 같이 해결할 수 있습니다.
p = (L * r)/(1 - (1+r)^(-n)) + b * (1+r)
잠재적으로 네 가지 시나리오가 있습니다. 지불 및 차입 거래가 이루어질 때 각각 두 가지 가능성(기간의 시작 또는 끝일 수 있음)이므로 두 가지 유형의 거래 각각에 대한 두 가지 가능성이 총 네 가지 가능성을 제공합니다. 각 시나리오는 위에서 설명한 일종의 분석을 따를 수 있습니다. 각 기간 말의 지불 및 시작 시 추가 차입이 분석된 시나리오입니다. 나머지 세 가지 가능한 시나리오는 독자의 연습 문제로 남겨집니다.
경고
실제로 기간이 개월인 경우 금융 기관에서는 일일 이자 계산을 사용하여 매달 길이가 다르다는 것을 인식하고 일부(Barclaycard UK를 보면) 이자가 적용되는 날짜를 매월 변경하기도 합니다. 계정에. 따라서 일반적으로 PMT계산과 위의 분석을 기반으로 한 계산은 현실에서 일어나는 일에 대한 합리적이지만 정확한 추정치를 제공하지는 않습니다.
(*)물론, 진정한 수학자들은 창발적인 패턴의 관찰을 "진실"로 의존할 뿐만 아니라 해당 패턴의 일반적인 진실을 증명(또는 반증)하기 시작합니다. 단순화를 위해 방정식 m이 일반적으로 참이라는 것을 보여주는 증명은 생략했습니다. 하지만 저를 믿으세요(저는 수학 과목에서 몇 개의 학위를 가지고 있습니다). 증명은 존재합니다.