컨볼루션과 푸리에 변환을 작성하는 방법

Question

LaTeX에서 다음 방정식을 작성하고 싶습니다.

\begin{equation}
x(t) \ast h(t) = y(t) 

X(f) H(f) = Y(f) 
\end{equation}

나는 \ast컨볼루션을 표시하고 싶습니다. 명령 도 있는 것으로 알고 있습니다 \star. 컨볼루션을 표현하는 데 어느 것을 사용하는지가 중요합니까? 그런 다음 푸리에 변환 기호를 원합니다. 즉, x(t)와 X(f), h(t)와 H(f), y(t)를 연결하기 위해 양쪽에 색칠된 빈 원이 있는 선을 의미합니다. ) 및 Y(f)입니다. 이를 수행하는 방법이 있습니까?

Answer 1

\circledast패키지 의 기호 는 amssymb일반적으로 원형 컨볼루션 프로세스를 나타내는 데 사용됩니다.

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\begin{document}

\begin{align*}
x(t) \circledast h(t) &= y(t) \\
X(f) H(f) &= Y(f) 
\end{align*}

\end{document}

선형 컨벌루션의 경우 간단한 것이 *더 적합합니다.

\begin{align*}
x(t)*h(t) &= y(t) \\
X(f) H(f) &= Y(f) 
\end{align*}

방정식의 일부 사이를 연결하기 위해 TikZ 패키지를 tikzmark라이브러리와 함께 사용하여 선의 시작과 끝 위치를 표시할 수 있습니다.

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,tikz}
\usetikzlibrary{arrows.meta,tikzmark}
\begin{document}

\begin{align*}
x\tikzmark{x}(t)*h\tikzmark{h}(t) &= y\tikzmark{y}(t) \\[2em]
X(f) \, H(f) &= Y(f) 
\end{align*}

\begin{tikzpicture}[overlay,remember picture, > = {Circle[open,blue]}]
  \draw [<->] ([yshift=-.7ex]pic cs:x) -- ++(0,-2.2em);
  \draw [<->] ([yshift=-.7ex]pic cs:h) -- ++(0,-2.2em);
  \draw [<->] ([yshift=-.7ex]pic cs:y) -- ++(0,-2.2em);
\end{tikzpicture}

\end{document}

Answer 2

trfsigns 패키지를 사용하여 푸리에 변환 쌍 사이의 기호를 얻는 더 쉬운 방법이 있다는 점을 덧붙이고 싶습니다.

\usepackage{trfsigns}
$g(x_1,x_2)* h(x_1,x_2)\laplace G(\omega_1,\omega_2)\cdot H(\omega_1,\omega_2)$