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반점선으로 토러스 그리기

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반점선으로 토러스 그리기

내가 그리고 싶은 것 :

여기에 이미지 설명을 입력하세요

위의 토러스를 그리기 위해 다음 코드를 사용했습니다.

\documentclass[margin=2mm,tikz]{standalone}
\usepackage{pgfplots}
\begin{document}
%Oberflächenproblem
\begin{tikzpicture}[rotate=180]
%Torus
\draw (0,0) ellipse (1.6 and .9);
%Hole
\begin{scope}[scale=.8]
\path[rounded corners=24pt] (-.9,0)--(0,.6)--(.9,0) (-.9,0)--(0,-.56)--(.9,0);
\draw[rounded corners=28pt] (-1.1,.1)--(0,-.6)--(1.1,.1);
\draw[rounded corners=24pt] (-.9,0)--(0,.6)--(.9,0);
\end{scope}
%Cut 1
\draw[densely dashed] (0,-.9) arc (270:90:.2 and .365);
\draw (0,-.9) arc (-90:90:.2 and .365);
%Cut 2
\draw (0,.9) arc (90:270:.2 and .348);
\draw[densely dashed] (0,.9) arc (90:-90:.2 and .348);
\end{tikzpicture}
\end{document}

그것은 다음을 생산합니다 :

여기에 이미지 설명을 입력하세요

이것은 내가 원하는 것과 같지 않습니다. 원하는 토러스를 어떻게 만들 수 있나요?

답변1

의 질문Ti로 토러스를 그리는 방법케이지다소 오래된 것이며 몇 가지 훌륭한 답변이 있습니다. 그리고 가장 멋진 출력은 (IMHO) 점근선을 사용하여 달성되었습니다. 이는 Ti와는 달리케이Z, 3D 엔진입니다. 그러나 3D 벡터 그래픽을 목표로 한다면3D 토리를 그리는 데 필요한 노력은 순진하게 기대하는 것보다 더 상당합니다..

이는 Ti를 만드는 것이 가능한지 여부에 대한 의문을 제기합니다.케이Z는 토러스 표면에서 보이는 점과 "숨겨진" 점을 구별합니다. 결국 유사차별은분야에 대해 달성되었습니다.. 대답은 '예'입니다.

답변의 첫 번째 부분: 토러스의 윤곽을 어떻게 그릴 수 있습니까? 토러스의 매개변수화가 주어지면 T(\u,\v)=(cos(\u)*(\R + \r*cos(\v),(\R + \r*cos(\v))*sin(\u),\r*sin(\v))주어진 지점에서 접선을 계산한 다음 법선을 계산할 수 있습니다. 토러스의 경계는 법선이 화면의 법선과 직교해야 한다는 요구 사항에 따라 결정됩니다. 결과 곡선은 함수입니다 T(\u,vcrit(\u)). 임계 \v값은 매우 간단하게 표현됩니다.

vcrit1(\u,\th)=atan(tan(\th)*sin(\u));% first critical v value
vcrit2(\u,\th)=180+atan(tan(\th)*sin(\u));% second critical v value

토러스를 감싸는 가시적 및/또는 숨겨진 사이클 조각이 시작하거나 끝나는 위치를 결정합니다. 그러나 윤곽은 vcrit2보는 각도에 따라 \tdplotmaintheta자체 상호 작용을 가질 수 있습니다. 이것이 바로 아래 코드에 판별식이 있는 이유입니다.

\documentclass[tikz,border=3.14mm]{standalone}
\usepackage{tikz-3dplot}
\begin{document}
\tdplotsetmaincoords{70}{0}
\tikzset{declare function={torusx(\u,\v,\R,\r)=cos(\u)*(\R + \r*cos(\v)); 
torusy(\u,\v,\R,\r)=(\R + \r*cos(\v))*sin(\u);
torusz(\u,\v,\R,\r)=\r*sin(\v);
vcrit1(\u,\th)=atan(tan(\th)*sin(\u));% first critical v value
vcrit2(\u,\th)=180+atan(tan(\th)*sin(\u));% second critical v value
disc(\th,\R,\r)=((pow(\r,2)-pow(\R,2))*pow(cot(\th),2)+% 
pow(\r,2)*(2+pow(tan(\th),2)))/pow(\R,2);% discriminant
umax(\th,\R,\r)=ifthenelse(disc(\th,\R,\r)>0,asin(sqrt(abs(disc(\th,\R,\r)))),0);
}}

\begin{tikzpicture}[tdplot_main_coords]
\pgfmathsetmacro{\R}{4}
\pgfmathsetmacro{\r}{1}
 \draw[thick,fill=gray,even odd rule,fill opacity=0.2] plot[variable=\x,domain=0:360,smooth,samples=71]
 ({torusx(\x,vcrit1(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
 {torusy(\x,vcrit1(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
 {torusz(\x,vcrit1(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)}) 
 plot[variable=\x,
 domain={-180+umax(\tdplotmaintheta,\R,\r)}:{-umax(\tdplotmaintheta,\R,\r)},smooth,samples=51]
 ({torusx(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
 {torusy(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
 {torusz(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)})
 plot[variable=\x,
 domain={umax(\tdplotmaintheta,\R,\r)}:{180-umax(\tdplotmaintheta,\R,\r)},smooth,samples=51]
 ({torusx(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
 {torusy(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
 {torusz(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)});
 \draw[thick] plot[variable=\x,
 domain={-180+umax(\tdplotmaintheta,\R,\r)/2}:{-umax(\tdplotmaintheta,\R,\r)/2},smooth,samples=51]
 ({torusx(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
 {torusy(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
 {torusz(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)});
 \foreach \X  in {240,300}  
 {\draw[thick,dashed] 
  plot[smooth,variable=\x,domain={360+vcrit1(\X,\tdplotmaintheta)}:{vcrit2(\X,\tdplotmaintheta)},samples=71]   
 ({torusx(\X,\x,\R,\r)},{torusy(\X,\x,\R,\r)},{torusz(\X,\x,\R,\r)});
 \draw[thick] 
  plot[smooth,variable=\x,domain={vcrit2(\X,\tdplotmaintheta)}:{vcrit1(\X,\tdplotmaintheta)},samples=71]   
 ({torusx(\X,\x,\R,\r)},{torusy(\X,\x,\R,\r)},{torusz(\X,\x,\R,\r)})
 node[below]{$C\ifnum\X=300 '\fi$};
 }
 \draw[thick] plot[smooth,variable=\x,domain=60:420,samples=71]   
 ({torusx(-15+15*cos(\x),80+45*sin(\x),\R,\r)},
 {torusy(-15+15*cos(\x),80+45*sin(\x),\R,\r)},
 {torusz(-15+15*cos(\x),80+45*sin(\x),\R,\r)})
 node[above left]{$C''$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

여기에 이미지 설명을 입력하세요

보시다시피, 가시적(실선) 또는 숨겨진(점선) 윤곽선은 과 시야각 의 기능인 vcrit1과 사이에 있습니다.vcrit2\u

그런 다음 사이클의 위치와 시야각을 변경할 수 있습니다.

\documentclass[tikz,border=3.14mm]{standalone}
\usepackage{tikz-3dplot}
\begin{document}
\foreach \X in {0,10,...,350}
{\tdplotsetmaincoords{65+10*sin(\X)}{0}
\tikzset{declare function={torusx(\u,\v,\R,\r)=cos(\u)*(\R + \r*cos(\v)); 
torusy(\u,\v,\R,\r)=(\R + \r*cos(\v))*sin(\u);
torusz(\u,\v,\R,\r)=\r*sin(\v);
vcrit1(\u,\th)=atan(tan(\th)*sin(\u));% first critical v value
vcrit2(\u,\th)=180+atan(tan(\th)*sin(\u));% second critical v value
disc(\th,\R,\r)=((pow(\r,2)-pow(\R,2))*pow(cot(\th),2)+% 
pow(\r,2)*(2+pow(tan(\th),2)))/pow(\R,2);% discriminant
umax(\th,\R,\r)=ifthenelse(disc(\th,\R,\r)>0,asin(sqrt(abs(disc(\th,\R,\r)))),0);
}}

\begin{tikzpicture}[tdplot_main_coords]
 \pgfmathsetmacro{\R}{4}
 \pgfmathsetmacro{\r}{1}
 \path[tdplot_screen_coords,use as bounding box]
  (-1.3*\R,-1.3*\R) rectangle (1.3*\R,1.3*\R);
 \draw[thick,fill=gray,even odd rule,fill opacity=0.2] plot[variable=\x,domain=0:360,smooth,samples=71]
 ({torusx(\x,vcrit1(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
 {torusy(\x,vcrit1(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
 {torusz(\x,vcrit1(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)}) 
 plot[variable=\x,
 domain={-180+umax(\tdplotmaintheta,\R,\r)}:{-umax(\tdplotmaintheta,\R,\r)},smooth,samples=51]
 ({torusx(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
 {torusy(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
 {torusz(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)})
 plot[variable=\x,
 domain={umax(\tdplotmaintheta,\R,\r)}:{180-umax(\tdplotmaintheta,\R,\r)},smooth,samples=51]
 ({torusx(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
 {torusy(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
 {torusz(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)});
 \draw[thick] plot[variable=\x,
 domain={-180+umax(\tdplotmaintheta,\R,\r)/2}:{-umax(\tdplotmaintheta,\R,\r)/2},smooth,samples=51]
 ({torusx(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
 {torusy(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
 {torusz(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)});
 \draw[thick,dashed] 
  plot[smooth,variable=\x,domain={360+vcrit1(\X,\tdplotmaintheta)}:{vcrit2(\X,\tdplotmaintheta)},samples=71]   
 ({torusx(\X,\x,\R,\r)},{torusy(\X,\x,\R,\r)},{torusz(\X,\x,\R,\r)});
 \draw[thick] 
  plot[smooth,variable=\x,domain={vcrit2(\X,\tdplotmaintheta)}:{vcrit1(\X,\tdplotmaintheta)},samples=71]   
 ({torusx(\X,\x,\R,\r)},{torusy(\X,\x,\R,\r)},{torusz(\X,\x,\R,\r)});
\end{tikzpicture}}
\end{document}

여기에 이미지 설명을 입력하세요

현재 제한사항은 다음과 같습니다.

  1. 세타 각도는 90도보다 커야 하고 토러스에 구멍이 있을 만큼 충분히 커야 합니다. (이 제한이 해제되었습니다.이 게시물에서.)
  2. 파이 각도는 0입니다. 이는 토러스의 대칭으로 인해 실제 제한이 아닙니다. 필요한 경우 모든 \v값을 마이너스로 이동하여 극복할 수 있습니다 \tdplotmainphi(그러나 현재로서는 이에 대한 동기가 없습니다).

이러한 모든 준비를 통해 우리는 질문의 두 번째 부분, 즉 음영을 얻는 방법을 다룰 수 있습니다. 누군가가 주장하지 않는 한현실적인음영 처리, 예를 들어 사용할 수 있습니다이 답변. 이 토론의 주요 목적은 음영 처리가 아니라 위의 내용을 pgfplots와 함께 사용하는 방법에 대한 질문입니다. 놀랍게도 그것은 매우 간단합니다. 이는 pgfplots매우 잘 작성되었으며 필요한 모든 각도가 pgf 키에 저장되어 있기 때문입니다.

\documentclass[tikz,border=3.14mm]{standalone}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.16}
\tikzset{declare function={torusx(\u,\v,\R,\r)=cos(\u)*(\R + \r*cos(\v)); 
torusy(\u,\v,\R,\r)=(\R + \r*cos(\v))*sin(\u);
torusz(\u,\v,\R,\r)=\r*sin(\v);
vcrit1(\u,\th)=atan(tan(\th)*sin(\u));% first critical v value
vcrit2(\u,\th)=180+atan(tan(\th)*sin(\u));% second critical v value
disc(\th,\R,\r)=((pow(\r,2)-pow(\R,2))*pow(cot(\th),2)+% 
pow(\r,2)*(2+pow(tan(\th),2)))/pow(\R,2);% discriminant
umax(\th,\R,\r)=ifthenelse(disc(\th,\R,\r)>0,asin(sqrt(abs(disc(\th,\R,\r)))),0);
}}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\pgfmathsetmacro{\R}{4}
\pgfmathsetmacro{\r}{1}
    \begin{axis}[colormap/blackwhite,
       view={30}{60},axis lines=none
       ]
       \addplot3[surf,shader=interp,
       samples=61, point meta=z+sin(2*y),
       domain=0:360,y domain=0:360,
       z buffer=sort]
       ({torusx(x,y,\R,\r)}, 
        {torusy(x,y,\R,\r)}, 
        {torusz(x,y,\R,\r)});
        \pgfplotsinvokeforeach{300,360}{%
          \draw[thick,dashed] 
            plot[smooth,variable=\x,domain={360+vcrit1(#1-\pgfkeysvalueof{/pgfplots/view/az},\pgfkeysvalueof{/pgfplots/view/el})}:{vcrit2(#1-\pgfkeysvalueof{/pgfplots/view/az},\pgfkeysvalueof{/pgfplots/view/el})},samples=71]   
            ({torusx(#1-\pgfkeysvalueof{/pgfplots/view/az},\x,\R,\r)},{torusy(#1-\pgfkeysvalueof{/pgfplots/view/az},\x,\R,\r)},{torusz(#1-\pgfkeysvalueof{/pgfplots/view/az},\x,\R,\r)});
          \draw[thick] 
           plot[smooth,variable=\x,domain={vcrit2(#1-\pgfkeysvalueof{/pgfplots/view/az},\pgfkeysvalueof{/pgfplots/view/el})}:{vcrit1(#1-\pgfkeysvalueof{/pgfplots/view/az},\pgfkeysvalueof{/pgfplots/view/el})},samples=71]   
          ({torusx(#1-\pgfkeysvalueof{/pgfplots/view/az},\x,\R,\r)},{torusy(#1-\pgfkeysvalueof{/pgfplots/view/az},\x,\R,\r)},{torusz(#1-\pgfkeysvalueof{/pgfplots/view/az},\x,\R,\r)})
          node[below]{$C\ifnum#1=360 '\fi$};
        }
        \draw[thick] plot[smooth,variable=\x,domain=60:420,samples=71]   
        ({torusx(25+15*cos(\x),80+45*sin(\x),\R,\r)},
        {torusy(25+15*cos(\x),80+45*sin(\x),\R,\r)},
        {torusz(25+15*cos(\x),80+45*sin(\x),\R,\r)})
        node[above left]{$C''$};
   \end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{document}

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