기대값을 포함한 많은 궤적을 가진 브라운 모션 플롯 생성

Question

Bernt Øksendal의 교과서 표지에 있는 브라운 운동 플롯을 복제하려고 합니다.확률적 미분 방정식LaTeX를 사용합니다.

나는 코딩에서 약간 길을 잃었습니다. 수학은 필요하지 않습니다. 비슷한 주제를 찾아봤습니다(브라운 운동 - 중복), 그러나 이들 중 어느 것도 플롯에 E[X_t] 선이 없었습니다. 또한 브라운 운동 궤적(교과서 표지 플롯과 달리 일부는 음수로 들어가기 때문에)과 x 및 y축 라벨링을 수정하는 방법을 확신하지 못했습니다.

나의 시도

    \documentclass[12pt, a4paper]{article} %uploading the libraries
    \usepackage{pgfplots, pgfplotstable}
    \usepackage[font=small,labelfont=bf,labelsep=colon]{caption}
    \begin{document}
    \pgfmathsetseed{5}
    % creating the Brownian motion trajectories
    \pgfplotstablenew[
        create on use/randwalk1/.style={
            create col/expr accum={\pgfmathaccuma + 0.1*rand}{0}
        },
        create on use/randwalk2/.style={
            create col/expr accum={\pgfmathaccuma + 0.1*rand}{0}
        },
        create on use/randwalk3/.style={
            create col/expr accum={\pgfmathaccuma + 0.1*rand}{0}
        },
        create on use/randwalk4/.style={
            create col/expr accum={\pgfmathaccuma + 0.1*rand}{0}
        },
        create on use/randwalk5/.style={
            create col/expr accum={\pgfmathaccuma + 0.1*rand}{0}
        },
        columns={randwalk1,randwalk2,randwalk3,randwalk4,randwalk5}
    ]
    {700}
    % adjusting the plot axes and titles
    \loadedtable
    \begin{figure}[H]
    \caption{Brownian Motion}
    \centering 
    \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}[
    legend pos=outer north east,
    axis y line=left, 
    axis x line=middle,
    xlabel= {\scriptsize $t$},
    ylabel = {\scriptsize $X_{t}$},
    ylabel style = {yshift=-12pt},
    xticklabels={,,},
    yticklabels={,,},
    tick style={draw=none},
    line join=bevel,
    no markers,
    table/x expr={\coordindex/100},
    xmin=0,
    ymin=-0.5, ymax=3,
    enlarge x limits=false
   % now, putting it all together
    ]
    \addplot table [y expr={max(\thisrow{randwalk1},-5.0)}] {\loadedtable};
    \addplot table [y expr={min(\thisrow{randwalk2},5.0)}] {\loadedtable};
    \addplot table [y expr={min(\thisrow{randwalk3},5.0)}] {\loadedtable};
    \addplot table [y expr={min(\thisrow{randwalk4},5.0)}] {\loadedtable};
    \addplot table [y expr=\thisrow{randwalk5}] {\loadedtable};
    \draw (axis cs:5,5) (axis cs:5,-5);
    \legend {{\footnotesize $X_t(\omega_1)$}, {\footnotesize $X_t(\omega_2)$}, {\footnotesize  $X_t(\omega_3)$},{\footnotesize  $X_t(\omega_4)$},{\footnotesize  $X_t(\omega_5)$}};
    \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \end{figure}
    \end{document}

Answer 1

문제는 rand에서 일반적인 무작위 값이 아닌 pgf균일하게 분포된 무작위 값을 생성한다는 것입니다. [-1,1]따라서 다음 코드는 엄밀히 말하면 GBM을 표시하지 않습니다. 그러나 이는 GBM 플롯과 유사해 보입니다. 0.003궤도가 원래 그림과 유사하게 증가할 가능성을 높이기 위해 지수에 약간의 드리프트도 추가했음을 알 수 있습니다 . 그리고 rand는 균일하기 때문에 저는 E(exp(0.003+0.1*rand))=exp(0.003)*5*(exp(0.1)-exp(-0.1))이 표현식을 계산하고 사용하여 기대치를 표시했습니다.

\documentclass[12pt, a4paper]{article} %uploading the libraries
\usepackage{pgfplots, pgfplotstable}
\usepackage[font=small,labelfont=bf,labelsep=colon]{caption}
\begin{document}
\pgfmathsetseed{5}
% creating the Brownian motion trajectories
\pgfplotstablenew[
    create on use/randwalk1/.style={
      create col/expr accum={\pgfmathaccuma * exp(0.003+0.1*rand)}{1}
    },
    create on use/randwalk2/.style={
      create col/expr accum={\pgfmathaccuma * exp(0.003+0.1*rand)}{1}
    },
    create on use/randwalk3/.style={
      create col/expr accum={\pgfmathaccuma * exp(0.003+0.1*rand)}{1}
    },
    create on use/randwalk4/.style={
      create col/expr accum={\pgfmathaccuma * exp(0.003+0.1*rand)}{1}
    },
    create on use/randwalk5/.style={
      create col/expr accum={\pgfmathaccuma * exp(0.003+0.1*rand)}{1}
    },
    create on use/expectation/.style={
      create col/expr accum={\pgfmathaccuma * exp(0.003)*5*(exp(0.1)-exp(-0.1))}{1}
    },
    columns={randwalk1,randwalk2,randwalk3,randwalk4,randwalk5,expectation}
]
{700}
% adjusting the plot axes and titles
\loadedtable
\begin{figure}[h]
\caption{Brownian Motion}
\centering 
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
legend pos=outer north east,
axis y line=left, 
axis x line=middle,
xlabel={\scriptsize $t$},
ylabel={\scriptsize $X_{t}$},
ylabel style={yshift=-12pt},
xticklabels={,,},
yticklabels={,,},
tick style={draw=none},
line join=bevel,
no markers,
table/x expr={\coordindex/100},
xmin=0,
ymin=0,
enlarge x limits=false
]
\addplot table [y expr=\thisrow{randwalk1}] {\loadedtable};
\addplot table [y expr=\thisrow{randwalk2}] {\loadedtable};
\addplot table [y expr=\thisrow{randwalk3}] {\loadedtable};
\addplot table [y expr=\thisrow{randwalk4}] {\loadedtable};
\addplot table [y expr=\thisrow{randwalk5}] {\loadedtable};
\addplot table [y expr=\thisrow{expectation}] {\loadedtable};
\draw (axis cs:5,5) (axis cs:5,-5);
\legend {{\footnotesize $X_t(\omega_1)$},
         {\footnotesize $X_t(\omega_2)$},
         {\footnotesize $X_t(\omega_3)$},
         {\footnotesize $X_t(\omega_4)$},
         {\footnotesize $X_t(\omega_5)$},
         {\footnotesize $E[X_t]$}};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{figure}
\end{document}