É possível fazer com que o Thunderbird verifique novos e-mails mesmo quando éfechado. Atualmente para mim ele só verifica novos e-mails quando está aberto ou quando está minimizado.
Por exemplo, no Windows, o Mailbird é um cliente de e-mail que verifica novos e-mails mesmo quando está fechado. Mas seu ícone ainda existe na bandeja do sistema.
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Existe uma extensão que você pode usar "MinimizeToTray revived 1.1.2", é popular e muito elogiada, deve atender às suas necessidades
https://addons.mozilla.org/en-us/thunderbird/addon/minimizetotray-revived/