Digamos que se meu HDD tiver três partições, duas dessas três partições foram instaladas com o Windows 7 e 10 e resta uma partição para compartilhar fotos entre os dois Windows. Digamos que se eu quiser usar o Microsoft Office, isso significa que preciso instalar o Microsoft Office em um desses dois Windows.
Então, estou me perguntando se é possível instalar o Microsoft Office (por exemplo, MS Office 2007) pela primeira vez para poder usar o MS Office 2007 em ambos os Windows?
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O que você pode tentar é instalá-lo em uma das partições (digamos, Windows 10) e depois novamente na outra, mas nessa, aponte para o diretório existente onde foi instalado no primeiro sistema operacional.
Observe que se você tiver que desinstalá-lo do primeiro sistema operacional, você terá que executar uma instalação de reparo (ou desinstalar/instalar novamente) no segundo se desejar mantê-lo lá, pois a desinstalação removerá tudo. Provavelmente não será assim se você desinstalar do segundo sistema operacional, porque, nesse caso, o instalador deveria ter marcado tudo como já existente e sem necessidade de remoção na desinstalação, portanto, a instalação ainda deverá funcionar no primeiro sistema operacional sem reparar ou reinstalar.
Obviamente, se você não pagar pela segunda instalação, mesmo que eles compartilhem o mesmo conjunto de arquivos, você poderá violar o EULA. (Se o instalador ligar para casa para verificar a chave, talvez nem seja possível fazer a instalação no segundo sistema operacional, mesmo que sua intenção seja fazer com que ele compartilhe os mesmos arquivos da primeira instalação e mesmo que, neste caso, seja nem é possível usá-los em ambos os sistemas operacionais ao mesmo tempo.)
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De acordo com a resposta do fixer1234, você não violará o EULA ao instalar o Office em duas partições de inicialização diferentes da mesma máquina física.
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Para responder à pergunta geral do seu título, você pode fazer isso com um aplicativo “portátil”. Eles são projetados para operar sem instalação. Se você puder vê-lo na partição do outro sistema operacional, poderá executá-lo.
Infelizmente, o Office 2007 não é um aplicativo portátil. Ele não apenas precisa dos ganchos e entradas do registro da instalação, como a Microsoft insiste nisso como parte do controle de licença.
Dito isto, não está claro qual problema você está tentando resolver ou evitar (limitações de licença versus desperdício de espaço no disco rígido com instalações duplicadas versus outra coisa). Se o motivo da sua dúvida estiver relacionado à licença, não é necessário se preocupar com uma única instalação.
Da mesma forma, tive uma dúvida sobre a instalação do Office em várias partições em um sistema de inicialização dupla; no meu caso, na perspectiva de esgotamento das instalações autorizadas pela licença. Verifiquei com a Microsoft como eles contam essas instalações. Se for a mesma máquina física e você estiver usando apenas uma instalação por vez, a Microsoft contará como uma única instalação.