Reiniciei o serviço de rede no meu novo servidor. Depois disso, não consigo acessar o servidor diretamente através do PuTTY. Ele continua expirando. Consigo me conectar ao servidor via ssh de qualquer servidor na mesma rede.
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Finalmente descobri que o gateway padrão estava faltando no servidor de alguma forma e não sei como. Adicionando uma entrada de rota padrão usando o comando
route add default gw IP_address eth0
resolveu meu problema. Meu servidor pode ser acessado diretamente via PuTTY e também posso fazer ping no servidor.