Como escrever uma convolução e uma transformada de Fourier

Question

Quero escrever a seguinte equação em LaTeX:

\begin{equation}
x(t) \ast h(t) = y(t) 

X(f) H(f) = Y(f) 
\end{equation}

Eu quero \astdenotar a convolução. Eu sei que também existe o \starcomando. Faz diferença qual deles eu uso para representar a convolução? Então eu quero um símbolo de transformada de Fourier, quero dizer a linha com um círculo colorido e um círculo vazio em cada lado, para conectar x(t) e X(f), h(t) e H(f), y(t ) e Y(f) respectivamente. Existe alguma forma de fazer isso ?

Answer 1

O \circledastsímbolo da amssymbembalagem é geralmente usado para denotar o processo de convolução circular.

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\begin{document}

\begin{align*}
x(t) \circledast h(t) &= y(t) \\
X(f) H(f) &= Y(f) 
\end{align*}

\end{document}

Para convolução linear, um simples *é mais apropriado:

\begin{align*}
x(t)*h(t) &= y(t) \\
X(f) H(f) &= Y(f) 
\end{align*}

Para traçar conexões entre partes das equações, o pacote TikZ pode ser usado com sua tikzmarkbiblioteca para marcar locais de início e fim de suas linhas.

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,tikz}
\usetikzlibrary{arrows.meta,tikzmark}
\begin{document}

\begin{align*}
x\tikzmark{x}(t)*h\tikzmark{h}(t) &= y\tikzmark{y}(t) \\[2em]
X(f) \, H(f) &= Y(f) 
\end{align*}

\begin{tikzpicture}[overlay,remember picture, > = {Circle[open,blue]}]
  \draw [<->] ([yshift=-.7ex]pic cs:x) -- ++(0,-2.2em);
  \draw [<->] ([yshift=-.7ex]pic cs:h) -- ++(0,-2.2em);
  \draw [<->] ([yshift=-.7ex]pic cs:y) -- ++(0,-2.2em);
\end{tikzpicture}

\end{document}

Answer 2

Só quero acrescentar que existe uma maneira mais fácil de obter o símbolo entre os pares da transformada de Fourier usando o pacote trfsigns.

\usepackage{trfsigns}
$g(x_1,x_2)* h(x_1,x_2)\laplace G(\omega_1,\omega_2)\cdot H(\omega_1,\omega_2)$