Intersecção de parábola e linha vertical em um determinado ponto

Question

Quero criar uma parábola que cruze uma linha vertical em um ponto específico. alguém poderia me ajudar com isso?

meu MWE é

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{intersections,shapes,arrows,calc}
\usepackage{esvect}
\usepackage{relsize}

\begin{tikzpicture}
% New graph - bottow left 
\draw[<->,rounded corners, thick]  (0,2.5) node(yline)[left] {$r$} -- (0,0) -- (3,0)  node(yline)[below] { $Y$}; 
\draw (1.5,0) -- (1.5,2.5);
\node[label=right:$\overline{S}(Y_{A})$] at (1.5,2.5) {};
\node[ circle,fill=black,minimum size=2pt,inner sep=0pt, outer sep=-1pt, label=left:$r^*_{A}$] at (0,1.5) {};
\draw[dashed]  (0,1.5) -- (1.5,1.5) ;
\draw (0.8,2.5) parabola[bend at end] (1.5,1.5) ;
\draw (1.5,1.5) parabola[bend at end] (2.5,1.2) ;
\end{tikzpicture}

O que produz a seguinte imagem gráfica:

Sou muito rígido quanto ao ponto de intersecção. No meu caso, a parábola tem que passar pelo ponto (1,5,1,5)

Alguma ajuda para melhorar a aparência do gráfico?

Answer 1

Veja, se você gostou...

\documentclass[tikz, margin=3mm]{standalone}
\usetikzlibrary{intersections}

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
% axes
\draw[thick,->]  (-0.1,0) coordinate (O)
                          -- ++ (4.1,0) node [below left] {$X$};
\draw[thick,->]  (0,-0.1) -- ++ (0,4.1) node [below left] {$r$};
\draw[ultra thin, gray] (0,0) grid + (4,4); %  only to show that intersection is at (1.5,1.5)
% curve
\begin{scope}[font=\footnotesize]
\draw[red, very thick,name path=A] 
    plot[domain=0.32:4, samples=64] (\x,0.8333+1/\x);
\draw[name path=B]   
                (1.5,-0.1) node[below] {1.5}
                           -- ++ (0,4.1) node[below right] {$\overline{S}(Y_{A})$};
\draw[dashed, name intersections={of =A and B, by={r}}] 
    (r) -- (r -| O) node[left]  {$r^*_{A}$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{document}

Termo aditivo: Na primeira versão da resposta, presumo que o principal problema é redesenhar parte da imagem do LaTeX, por exemplo, definir a função não é problema. Parece que eu estava errado, então agora estou corrigindo meu desempenho defeituoso :) mas no caminho com o mínimo esforço. Você mesmo pode encontrar a função adequada e, claro, alterar os rótulos para o que você gostaria de ter. A grade adicionada é apenas indicativa e teve que ser removida no uso real do MWE (conforme entendi seu desejo).

Observação:curva empurrada não é parábola, apenas imito o que você mostrou em sua pergunta com função inversa, ou seja, hipérbole.