Estou escrevendo sobre redes neurais, onde vetores de coordenadas são transformados por matrizes e depois transformados pontualmente por uma função não linear.
Como equação, é algo comoσ(wx+b), ondeσé a função não linear,cebsão uma matriz e um vetor correspondentemente exé o vetor de entrada, aqui uma coordenada em TikZ.
Quero ilustrar isso com exemplos básicos usando TikZ. Owx+ba transformação é fácil de implementar usando a [cm={w-entries, b-coordinate}]opção e também posso transformar as coordenadas individuais usando a calcbiblioteca.
No entanto, como você pode ver no MWE fornecido abaixo, está na ordem errada. Eu tenhoc σ(x) +be, portanto, precisa alterar um pouco as coordenadas. Funciona bem para exemplos simples, mas falha quando vou para exemplos mais complexos.
Existe uma maneira fácil de implementar transformações não lineares após a transformação de coordenadas via cm?
\documentclass{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\begin{document}
\pgfmathsetseed{1}
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\fill[red!20] (0,0) -- (2.5, 2.5) -- (2.5, 0);
\fill[blue!20] (0,0) -- (2.5, 2.5) -- (0, 2.5);
\begin{scope}[cm={0, 2, -2, 0, (2.25, 0.25)}]
\foreach \i in {0, ..., 50} {
\draw[red] ({1/(1+exp(-3*(rnd-1.5)))}, {1/(1+exp(-3*(rnd-1.5))}) circle (0.015);
\draw[blue] ({1/(1+exp(-3*(rnd+.5)}, {1/(1+exp(-3*(rnd+.5))}) circle (0.015);
};
\end{scope}
\draw (0,0) -- (2.5, 2.5);
\end{tikzpicture}
\end{document}
EDITARAtualização de progresso: consegui usarexcelente resposta da marmotae crie a transformação desejada.
No entanto, não consigo fazê-lo usar nenhuma variável externa. Em particular, gostaria de ter um parâmetro de escala ou alguma forma de passar o valor da escala circundante para a transformação. Atualmente só consigo aumentar o tamanho da imagem se alterar o valor da transformação entre centímetros e pontos. (Existe uma maneira melhor de alternar entre os dois sistemas de coordenadas? O dimensionamento rígido em 28,4 parece desajeitado.)
\documentclass[border=5mm]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usepgfmodule{nonlineartransformations}
\makeatletter
\def\sigmoidtransformation{%
\edef\oriX{\the\pgf@x}%
\edef\oriY{\the\pgf@y}%
\typeout{old\space y=\oriX\space old \space y=\oriY}
\pgfmathsetmacro{\sigmoidx}{28.4/(1+exp(min(-\oriX/28,4, 5))}
\pgfmathsetmacro{\sigmoidy}{28.4/(1+exp(min(-\oriY/28.4, 5))}
\typeout{new\space x=\sigmoidx\space new\space y=\sigmoidy}
\setlength{\pgf@x}{\sigmoidx pt}
\setlength{\pgf@y}{\sigmoidy pt}
}
\begin{document}
\pgfmathsetseed{1}
\begin{tikzpicture}
\draw[red!50] (0,0) grid[xstep=0.333cm, ystep=0.333cm] (1,1);
\draw[red!50, shift={(0.5, 0.5)}] (0,0) circle (0.5);
\pgftransformnonlinear{\sigmoidtransformation}
\draw[gray] (-3,-3) grid[xstep=15pt, ystep=15pt] (3,3);
\draw[cm={1, 1, 0, 1, (1, 1)}] (0,0) circle(1);
\end{tikzpicture}
\end{document}
Responder1
A conversão de cm para pt é tão simples quanto adicionar fatores como 1cm/1pt. E você poderia fazer com que as coisas dependessem de um parâmetro, incorporando-as na definição da transformação. (Eu também limpei um pouco meu código antigo.)
\documentclass[border=5mm]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usepgfmodule{nonlineartransformations}
\makeatletter
\def\mytrafoA{1}
\def\sigmoidtransformation{%
\pgf@xa=\pgf@x%
\pgf@ya=\pgf@y%
\typeout{old\space x=\pgf@xa\space old \space y=\pgf@ya}%
\pgfmathsetmacro{\sigmoidx}{1cm/(1+exp(min(-\mytrafoA\pgf@xa/1cm, 5))}%
\pgfmathsetmacro{\sigmoidy}{1cm/(1+exp(min(-\mytrafoA\pgf@ya/1cm, 5))}%
\typeout{new\space x=\sigmoidx\space new\space y=\sigmoidy}%
\pgf@x=\sigmoidx pt
\pgf@y=\sigmoidy pt
}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw[red!50] (0,0) grid[xstep=0.333cm, ystep=0.333cm] (1,1);
\draw[red!50, shift={(0.5, 0.5)}] (0,0) circle (0.5);
\pgftransformnonlinear{\sigmoidtransformation}
\draw[gray] (-3,-3) grid[xstep=15pt, ystep=15pt] (3,3);
\draw[cm={1, 1, 0, 1, (1, 1)}] (0,0) circle(1);
\end{tikzpicture}
\quad
\begin{tikzpicture}
\draw[red!50] (0,0) grid[xstep=0.333cm, ystep=0.333cm] (1,1);
\draw[red!50, shift={(0.5, 0.5)}] (0,0) circle (0.5);
\def\mytrafoA{2}
\pgftransformnonlinear{\sigmoidtransformation}
\draw[gray] (-3,-3) grid[xstep=15pt, ystep=15pt] (3,3);
\draw[cm={1, 1, 0, 1, (1, 1)}] (0,0) circle(1);
\end{tikzpicture}
\end{document}
Observe também que um círculo é construído com algumas curvas de Bézier; portanto, se você quiser transformar círculos com mais precisão, poderá plotá-los por meio de gráficos paramétricos.