\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
%\inputencoding{latin1}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{array}
\usepackage{covington}
\usepackage{tipa}
\usepackage{apacite}
\bibliographystyle{apacitex}
% try this package for ʾ ʿ
% \usepackage{blindtext}
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancy}
%\usepackage[T1]{fontenc}
% package for times new roman font
\usepackage{times}
% package for different shapes
%\usepackage{amssymb}
% single space or double space lines
\usepackage{setspace}
%\singlespacing
\doublespacing
% header
\fancyhf{}
\lhead{ \Author \\MyName\\Assignment}
\rhead{\itshape \today}
\pagestyle{fancy}
% page number
\rfoot{\thepage}
\usepackage{gb4e}
\begin{document}
\topskip=18pt
\maketitle{My title }
\end{document}
Responder1
A \maketitlemacro - observe que simnãoum argumento - emite implicitamente a instrução
\thispagestyle{plain}
O plainestilo da página é, bem, "simples": nada sofisticado, apenas o número da página é impresso centralizado na margem inferior. Esse é o problema do qual você está reclamando, certo?
Para evitar esse resultado, você pode emitir a instrução \thispagestyle{fancy}imediatamente após \maketitleou adicionar a instrução \fancypagestyle{plain}{}no preâmbulo, imediatamente após configurar as propriedades do fancyestilo de página.
Aliás, eu não recomendaria que você usasse nenhuma dessas duas soluções. Geralmente é preferível manter a página de título bonita e simples - e adiar qualquer decoração de página até que a página de título esteja composta.
Algumas observações adicionais sobre o seu código. (a) Se você carregar o fontspecpacote, você devenãoestar carregando o inputencpacote e você certamente não deveria carregar o timespacote de fontes. Em vez disso, emita uma instrução como \setmainfont{Times New Roman}(ou qualquer que seja a fonte do texto principal de sua preferência). (b) Como já mencionado, \maketitlenão aceita argumento e faltam instruções \titlee trecho de código \author. (c) Como é \Authordefinido?
Uma versão compilável e limpa do seu exemplo:
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage{fontspec}
\setmainfont{Times New Roman} % not "\usepackage{times}"
\usepackage{array}
\usepackage{apacite}
\bibliographystyle{apacitex}
\title{My title}
\author{Me}
\let\Author\author % ??
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\lhead{\Author\\MyName\\Assignment}
\rhead{\itshape\today}
\rfoot{\thepage}
\fancypagestyle{plain}{} % <-- new
\usepackage{setspace}
\doublespacing
\usepackage{covington}
\usepackage{tipa}
\usepackage{gb4e}
\begin{document}
\maketitle
%\thispagestyle{fancy} % instead of "\fancypagestyle{plain}{}"
\clearpage
Once upon a time \dots
\end{document}