Traçando as raízes de um polinômio

Question 1

Quando você muda para matemática mais técnica, você deve usar o sagetexpacote, pois ele dá acesso a um CAS de código aberto chamadoSÁBIO. A documentação do CTAN éaqui. Aqui está a maneira “rápida e suja” de conseguir o que deseja.

\documentclass{article}
\usepackage{sagetex}
\begin{document}
\begin{sagesilent}
x = polygen(QQ)
f = x^4-x^3-1
root_list = f.roots(CC) 
real_roots = []
for root in root_list:
    real_roots += [root[0].n(digits=3)]
P = list_plot(real_roots,color='red',size=25)
\end{sagesilent}
The roots of the polynomial $\sage{f}$ plotted in the complex plane
\begin{center}
\sageplot[scale=.8]{P}
\end{center}
The roots of $\sage{f}$ are $\sage{real_roots}$.
\end{document}

Aqui está a saída: Não conheço os meandros do código, apenas hackeei alguns códigos referindo-me aesseeessepara descobrir o código. Acho que x = polygen(QQ)vou deixar você encontrar raízes de polinômios com coeficientes racionais e f.roots(CC)dizer ao Sage para encontrar quaisquer raízes complexas. Como o SAGE é um CAS, esses números podem ser objetos como sqrt(2) e queremos forçá-los a decimais que possam ser plotados. Isso é conseguido por for root in root_list: real_roots += [root[0].n(digits=3)]. O gráfico real é armazenado em uma variável, P, onde P = list_plot(real_roots,color='red',size=25)cor e tamanho se referem aos pontos que são inicialmente pequenos demais para serem vistos facilmente. Tudo isso é feito no sagesilentmodo, que é como um rascunho que não entra no documento. No código LaTeX, use \sage{}para obter números/cálculos e \sageplot{}para obter os gráficos que são feitos no SAGE. Fazer os gráficos por meio do sage ajuda a encurtar o código e, como um CAS está fazendo as contas, você pode alterar a função (lembre-se de que precisa de multiplicação entre coeficientes e variáveis) e o SAGE analisará o resultado. Você pode, com um pouco mais de codificação, fazer com que o gráfico tenha uma aparência mais bonita. tikzVocê pode consultar como eu fiz isso para a função Zetaaqui. Isso exigirá algumas linhas extras. Observe que no meu código, o SAGE também conseguiu fornecer os 4 zeros por \sage{real_roots}. Ter um CAS fazendo o trabalho evita erros.

SAGE não faz parte da distribuição LaTeX; a melhor forma de acessá-lo é através de uma conta Cocalc gratuita clicandoaqui.

Answer

Quando você muda para matemática mais técnica, você deve usar o sagetexpacote, pois ele dá acesso a um CAS de código aberto chamadoSÁBIO. A documentação do CTAN éaqui. Aqui está a maneira “rápida e suja” de conseguir o que deseja.

\documentclass{article}
\usepackage{sagetex}
\begin{document}
\begin{sagesilent}
x = polygen(QQ)
f = x^4-x^3-1
root_list = f.roots(CC) 
real_roots = []
for root in root_list:
    real_roots += [root[0].n(digits=3)]
P = list_plot(real_roots,color='red',size=25)
\end{sagesilent}
The roots of the polynomial $\sage{f}$ plotted in the complex plane
\begin{center}
\sageplot[scale=.8]{P}
\end{center}
The roots of $\sage{f}$ are $\sage{real_roots}$.
\end{document}

Aqui está a saída: Não conheço os meandros do código, apenas hackeei alguns códigos referindo-me aesseeessepara descobrir o código. Acho que x = polygen(QQ)vou deixar você encontrar raízes de polinômios com coeficientes racionais e f.roots(CC)dizer ao Sage para encontrar quaisquer raízes complexas. Como o SAGE é um CAS, esses números podem ser objetos como sqrt(2) e queremos forçá-los a decimais que possam ser plotados. Isso é conseguido por for root in root_list: real_roots += [root[0].n(digits=3)]. O gráfico real é armazenado em uma variável, P, onde P = list_plot(real_roots,color='red',size=25)cor e tamanho se referem aos pontos que são inicialmente pequenos demais para serem vistos facilmente. Tudo isso é feito no sagesilentmodo, que é como um rascunho que não entra no documento. No código LaTeX, use \sage{}para obter números/cálculos e \sageplot{}para obter os gráficos que são feitos no SAGE. Fazer os gráficos por meio do sage ajuda a encurtar o código e, como um CAS está fazendo as contas, você pode alterar a função (lembre-se de que precisa de multiplicação entre coeficientes e variáveis) e o SAGE analisará o resultado. Você pode, com um pouco mais de codificação, fazer com que o gráfico tenha uma aparência mais bonita. tikzVocê pode consultar como eu fiz isso para a função Zetaaqui. Isso exigirá algumas linhas extras. Observe que no meu código, o SAGE também conseguiu fornecer os 4 zeros por \sage{real_roots}. Ter um CAS fazendo o trabalho evita erros.

SAGE não faz parte da distribuição LaTeX; a melhor forma de acessá-lo é através de uma conta Cocalc gratuita clicandoaqui.

Question 2

TikZ não é um sistema de álgebra computacional. É claro que você mesmo pode calcular as raízes e plotá-las usando coordenadas polares. (Em princípio você poderia até deixar TikZ resolve numericamente as equações que determinam as raízes, mas isso seria um pouco maluco.)

\documentclass[tikz,border=3.14mm]{standalone}
\usepackage{amsmath}
\DeclareMathOperator{\re}{Re}
\DeclareMathOperator{\im}{Im}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=4]
 \draw[-latex] (-1.5,0) -- (1.75,0) node[below left] {$\re z$};
 \draw[-latex] (0,-1.5) -- (0,1.5) node[below right] {$\im z$};
 \draw (1,0.05) -- (1,-0.05) node[below]{1};
 \draw (0.05,1) -- (-0.05,1) node[left]{i};
 \foreach \X/\Y in {-76.5/0.94,76.5/0.94,180/0.82,0/1.38}
  {\fill (\X:\Y) circle[radius=1pt];}
\end{tikzpicture}
\end{document}

Answer

TikZ não é um sistema de álgebra computacional. É claro que você mesmo pode calcular as raízes e plotá-las usando coordenadas polares. (Em princípio você poderia até deixar TikZ resolve numericamente as equações que determinam as raízes, mas isso seria um pouco maluco.)

\documentclass[tikz,border=3.14mm]{standalone}
\usepackage{amsmath}
\DeclareMathOperator{\re}{Re}
\DeclareMathOperator{\im}{Im}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=4]
 \draw[-latex] (-1.5,0) -- (1.75,0) node[below left] {$\re z$};
 \draw[-latex] (0,-1.5) -- (0,1.5) node[below right] {$\im z$};
 \draw (1,0.05) -- (1,-0.05) node[below]{1};
 \draw (0.05,1) -- (-0.05,1) node[left]{i};
 \foreach \X/\Y in {-76.5/0.94,76.5/0.94,180/0.82,0/1.38}
  {\fill (\X:\Y) circle[radius=1pt];}
\end{tikzpicture}
\end{document}

Question 3

Da próxima vez, você deve postar um exemplo prático mínimo para atrair mais usuários para sua postagem. De qualquer forma, você é um novo usuário, então esta resposta é para lhe dar as boas-vindas ao TeX.SE!

Em primeiro lugar, não creio que tenha mais do que duas raízes reais.

Você pode plotar isso facilmente com TikZ:

\documentclass[tikz]{standalone}
\usetikzlibrary{intersections}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[>=stealth,scale=2]
\draw[->] (0,-2.5)--(0,2.5) node[left] {$y$};
\draw[->,name path=ox] (-2.5,0)--(2.5,0) node[above]{$x$};
\draw (0,0) node[below left] {$O$};
\foreach \i in {-2,-1,1,2} {
    \draw (-.05,\i)--(.05,\i);
    \draw (0,\i) node[left] {$\i$};
    \draw (\i,-.05)--(\i,.05);
    \draw (\i,0) node[below] {$\i$};
}
\draw[red,name path=pl] plot[smooth,samples=500,domain=-1.1:1.6] (\x,{\x*\x*\x*\x-\x*\x*\x-1});
\path[name intersections={of=ox and pl,by={i1,i2}}];
\fill (i1) circle (1pt) node[above right] {$A$};
\fill (i2) circle (1pt) node[below right] {$B$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Agora, quando você tiver as interseções, poderá ter suas coordenadas:

\documentclass[tikz]{standalone}
\usetikzlibrary{intersections}
\newdimen\xa 
\newdimen\xb 
\newdimen\ya 
\newdimen\yb
\makeatletter
\def\convertto#1#2{\strip@pt\dimexpr #2*65536/\number\dimexpr 1#1}
\makeatother
% https://tex.stackexchange.com/a/239496/156344
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[>=stealth,scale=2]
\draw[->] (0,-2.5)--(0,2.5) node[left] {$y$};
\draw[->,name path=ox] (-2.5,0)--(2.5,0) node[above]{$x$};
\draw (0,0) node[below left] {$O$};
\foreach \i in {-2,-1,1,2} {
    \draw (-.05,\i)--(.05,\i);
    \draw (0,\i) node[left] {$\i$};
    \draw (\i,-.05)--(\i,.05);
    \draw (\i,0) node[below] {$\i$};
}
\draw[red,name path=pl] plot[smooth,samples=500,domain=-1.1:1.6] (\x,{\x*\x*\x*\x-\x*\x*\x-1});
\path[name intersections={of=ox and pl,by={i1,i2}}];
\fill (i1) circle (1pt) node[above right] {$A$};
\path (i1); \pgfgetlastxy{\xa}{\ya}
\fill (i2) circle (1pt) node[below right] {$B$};
\path (i2); \pgfgetlastxy{\xb}{\yb} 
\draw (0,-3) node[text width=10cm,align=left] {%
There are two roots:\\
$A$ at $({\convertto{cm}{\xa}*2}, 0)$ and $B$ at $({\convertto{cm}{\xb}*2}, 0)$.};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Claro que você pode usar sempre \xae \xbonde quiser ;-)

Como disse a marmota, TikZ não é uma calculadora. Só pode nos ajudar a encontrar as raízes reais usando interseções. E não acho que seja fácil fazer isso com qualquer ferramenta LaTeX além de encontrar você mesmo as raízes.

Answer

Da próxima vez, você deve postar um exemplo prático mínimo para atrair mais usuários para sua postagem. De qualquer forma, você é um novo usuário, então esta resposta é para lhe dar as boas-vindas ao TeX.SE!

Em primeiro lugar, não creio que tenha mais do que duas raízes reais.

Você pode plotar isso facilmente com TikZ:

\documentclass[tikz]{standalone}
\usetikzlibrary{intersections}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[>=stealth,scale=2]
\draw[->] (0,-2.5)--(0,2.5) node[left] {$y$};
\draw[->,name path=ox] (-2.5,0)--(2.5,0) node[above]{$x$};
\draw (0,0) node[below left] {$O$};
\foreach \i in {-2,-1,1,2} {
    \draw (-.05,\i)--(.05,\i);
    \draw (0,\i) node[left] {$\i$};
    \draw (\i,-.05)--(\i,.05);
    \draw (\i,0) node[below] {$\i$};
}
\draw[red,name path=pl] plot[smooth,samples=500,domain=-1.1:1.6] (\x,{\x*\x*\x*\x-\x*\x*\x-1});
\path[name intersections={of=ox and pl,by={i1,i2}}];
\fill (i1) circle (1pt) node[above right] {$A$};
\fill (i2) circle (1pt) node[below right] {$B$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Agora, quando você tiver as interseções, poderá ter suas coordenadas:

\documentclass[tikz]{standalone}
\usetikzlibrary{intersections}
\newdimen\xa 
\newdimen\xb 
\newdimen\ya 
\newdimen\yb
\makeatletter
\def\convertto#1#2{\strip@pt\dimexpr #2*65536/\number\dimexpr 1#1}
\makeatother
% https://tex.stackexchange.com/a/239496/156344
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[>=stealth,scale=2]
\draw[->] (0,-2.5)--(0,2.5) node[left] {$y$};
\draw[->,name path=ox] (-2.5,0)--(2.5,0) node[above]{$x$};
\draw (0,0) node[below left] {$O$};
\foreach \i in {-2,-1,1,2} {
    \draw (-.05,\i)--(.05,\i);
    \draw (0,\i) node[left] {$\i$};
    \draw (\i,-.05)--(\i,.05);
    \draw (\i,0) node[below] {$\i$};
}
\draw[red,name path=pl] plot[smooth,samples=500,domain=-1.1:1.6] (\x,{\x*\x*\x*\x-\x*\x*\x-1});
\path[name intersections={of=ox and pl,by={i1,i2}}];
\fill (i1) circle (1pt) node[above right] {$A$};
\path (i1); \pgfgetlastxy{\xa}{\ya}
\fill (i2) circle (1pt) node[below right] {$B$};
\path (i2); \pgfgetlastxy{\xb}{\yb} 
\draw (0,-3) node[text width=10cm,align=left] {%
There are two roots:\\
$A$ at $({\convertto{cm}{\xa}*2}, 0)$ and $B$ at $({\convertto{cm}{\xb}*2}, 0)$.};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Claro que você pode usar sempre \xae \xbonde quiser ;-)

Como disse a marmota, TikZ não é uma calculadora. Só pode nos ajudar a encontrar as raízes reais usando interseções. E não acho que seja fácil fazer isso com qualquer ferramenta LaTeX além de encontrar você mesmo as raízes.

Traçando as raízes de um polinômio

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