Como posso adicionar números a essas imagens para maximizar automaticamente o número de regiões para um determinado número de linhas?

Question

Quero numerar a região das linhas que dividem uma linha plana nesta imagem.

Com uma linha temos duas regiões, com duas linhas temos quatro regiões. tentei

\documentclass[tikz,12pt]{standalone}
\begin{document}
    \begin{tikzpicture}
    \path
    (0,0) coordinate (O)
    (-2,-2) coordinate (A)
    (2,2) coordinate (B)
    (2,-2) coordinate (C)
    (-2,2) coordinate (D);
    \node at (barycentric cs:A=1,C=1,B=1) {$1$};
    \node at (barycentric cs:A=1,D=1,B=1) {$2$};
    \draw (A) -- (B);
    \end{tikzpicture}


    \begin{tikzpicture}
    \path
    (0,0) coordinate (O)
    (-2,-2) coordinate (A)
    (2,2) coordinate (B)
    (-4,-2) coordinate (C)
    (4,2) coordinate (D);
    \draw (A) -- (B) (C) -- (D);
    \node at (barycentric cs:A=1,O=1,C=1) {$1$};
    \node at (barycentric cs:B=1,O=1,C=1) {$2$};
    \node at (barycentric cs:B=1,O=1,D=1) {$3$};
    \node at (barycentric cs:A=1,O=1,D=1) {$4$};
    \end{tikzpicture}
\end{document} 

Eu sei que o número máximo $ L_n $ é $ \dfrac{n^2+n+2}{2} $. Como posso desenhar a imagem acima automaticamente? Como posso adicionar números a essas imagens automaticamente?

Answer 1

Isso está longe de ser uma resposta completa. A questão parece ser como, dado o número nde linhas, podemos organizá-las de forma que o número de regiões atinja o seu número máximo (n^2+n+2)/2,. Acho que as seguintes condições são necessárias:

1. Não existem duas linhas diferentes paralelas.
2. Não mais do que duas linhas se cruzam em um determinado ponto de interseção.

Usando essas diretrizes, pode-se construir uma imagem que crie tal arranjo.

\documentclass[tikz,border=3mm]{standalone}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[pics/divi/.style={code={
\foreach \X [evaluate=\X as \Y using {360*\X/(#1+1-isodd(#1))}]
     in {1,...,#1}
\draw[scale=1/#1] ({90+\Y}:#1/4)
++ ({180+\Y}:1+1.5*#1) -- ++ ({\Y}:2+3*#1);
}}]
\matrix {\pic {divi=1}; & \pic {divi=2}; \\
\pic {divi=3}; & \pic {divi=4}; \\
\pic {divi=5}; & \pic {divi=6}; \\
};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Eu nem tentei colocar os números.

Answer 2

Isso fornece uma macro para calcular o incentivo de um triângulo. A parte difícil foi evitar estouros de ponto flutuante.

\documentclass{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}

\newcommand{\incenter}[4]% #1-#3 = coordinate names for vertices, #4 = name of incenter
{\pgfscope
  \pgfpathmoveto{\pgfpointanchor{#1}{center}}%
  \pgfgetlastxy{\xa}{\ya}%
  \pgfpathmoveto{\pgfpointanchor{#2}{center}}%
  \pgfgetlastxy{\xb}{\yb}%
  \pgfpathmoveto{\pgfpointanchor{#3}{center}}%
  \pgfgetlastxy{\xc}{\yc}%
  \pgfmathsetmacro{\a}{veclen(\xc-\xb,\yc-\yb)}%
  \pgfmathsetmacro{\b}{veclen(\xc-\xa,\yc-\ya)}%
  \pgfmathsetmacro{\c}{veclen(\xb-\xa,\yb-\ya)}%
  \pgfmathsetmacro{\d}{\a+\b+\c}%
  \pgfmathsetmacro{\a}{\a/\d}%
  \pgfmathsetmacro{\b}{\b/\d}%
  \pgfmathsetmacro{\c}{\c/\d}%
  \pgfmathsetlengthmacro{\xo}{\a*\xa + \b*\xb + \c*\xc}%
  \pgfmathsetlengthmacro{\yo}{\a*\ya + \b*\yb + \c*\yc}%
  \pgfcoordinate{#4}{\pgfpoint{\xo}{\yo}}
\endpgfscope}


\begin{document}
    \begin{tikzpicture}
    \path
    (0,0) coordinate (O)
    (-2,-2) coordinate (A)
    (2,2) coordinate (B)
    (2,-2) coordinate (C)
    (-2,2) coordinate (D);
    \draw (A) -- (B);
    \incenter{A}{C}{B}{O1}%
    \node at (O1) {1};
    \incenter{A}{D}{B}{O2}%
    \node at (O2) {2};
    \end{tikzpicture}


    \begin{tikzpicture}
    \path
    (0,0) coordinate (O)
    (-2,-2) coordinate (A)
    (2,2) coordinate (B)
    (-4,-2) coordinate (C)
    (4,2) coordinate (D);
    \draw (A) -- (B) (C) -- (D);
    \incenter{A}{O}{C}{O1}%
    \node at (O1) {1};
    \incenter{B}{O}{C}{O2}%
    \node at (O2) {2};
    \incenter{B}{O}{D}{O3}%
    \node at (O3) {3};
    \incenter{A}{O}{D}{O4}%
    \node at (O4) {4};
    \end{tikzpicture}
\end{document}

---

Answer 3

Desenhar esses diagramas é fácil. O código abaixo define uma macro, \DividedPlanes, para que

  \DividedPlanes{5}
  \DividedPlanes{6}

produz estas configurações para 5 e 6 pontos, respectivamente:

As linhas \DividedPlanes{<n>}são desenhadas primeiro usando um \foreachloop para colocar ncoordenadas em torno de um círculo de raio 2nos pontos 2k\pi/n, para k=1,2,...,n. Depois disso, as linhas são desenhadas fazendo um loop sobre todos os pares de números (equivalentemente, pontos), em {1,2,...,n}. Pensando mais do que tenho tempo no momento (é um dia de trabalho), deveria ser possível rotular as regiões (o comportamento é um pouco diferente quando né ímpar e quando é par). Posso voltar a isso se a população felina local não me vencer.

Aqui está o código:

\documentclass{article}
\usepackage{tikz}

% allow an optional argument so that we can pass some optional
% style commands to the tikzpicture environment
% usage: \DividedPlanes[style]{n}
\newcommand\DividedPlanes[2][]{
  \begin{tikzpicture}[#1]
    % reserve some real estate for the image
    \draw[white](-3,-3) rectangle (3,3);
    \foreach \pt  in {1,...,#2} {
        % name coordinates (1), (2), ..., (#2)
        \coordinate (\pt) at (\pt*360/#2:2);
    }
    \foreach \apt in {1,...,#2} {
       \foreach \bpt in {1,...,#2} {
         \ifnum\apt=\bpt\else
           % draw a line when a and b are distinct
           \draw[shorten >=-20,shorten <=-20](\apt)--(\bpt);
         \fi
       }
    }
  \end{tikzpicture}
}
\begin{document}

  \DividedPlanes{2}

  \DividedPlanes{3}
  \DividedPlanes{4}

  \DividedPlanes{5}
  \DividedPlanes{6}

\end{document}