Problema com meu código LaTeX não compilando

Problema com meu código LaTeX não compilando

estou tendo problemas para compilar meu código LaTeX. Recentemente estou aprendendo LaTeX para começar a escrever meu dever de casa. Os erros são: argumento descontrolado?, Faltando $ inserido.

\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage[]{amsthm} 
\usepackage[]{amssymb} 
\usepackage{flexisym}
\usepackage{amsmath}

\title{Desarrollo}
\author{Example}
\date\today

\begin{document}
\maketitle 
\subsection*{Desarrollo}
\textit{
\textbf{iii.} Encuentre los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión.
}



\text{Calculemos $f\textprime\textprime(x)$}

\begin{align*}
    &\text{Teniamos anteriormente que la derivada era}\\
    f\textprime(x)&=\tan x \cdot \sec^{2}x\\\\
    f\textprime\textprime(x)&=\sec^{2}(x) + [(1)\cdot(\sec ^{2}x)\cdot + x\cdot(\sec ^2x)\textprime]\\
    &=\sec^{2}x+(\sec^{2}x+2\sec ^{2}x \cdot \tan x)\\
    &=\sec^{2}x+\sec^{2}x+2\sec ^{2}x \cdot \tan x\\
    &=2\sec^{2}x+2\cdot \sec^{2}x\cdot \tan x\\\\
    &\text{Podemos factorizar por $\sec^{2}x$}\\
    f \textprime \textprime(x)&=\sec ^{2}x (2+2 \tan x)\\\\
    &\text{Entonces calculamos sus puntos criticos}\\


\end{align*}


\clearpage



\end{document}

Bônus: se alguém tiver um bom recurso para começar a escrever meu dever de casa em LaTeX, eu o receberei com prazer.

Responder1

Eu me livraria das linhas extras em branco no align*ambiente e reorganizaria partes do material para que houvesse mais foco visual na parte nova, ou seja, na derivação da segunda derivada. Por exemplo, não vejo necessidade de usar uma equação exibida para reafirmar a fórmula da primeira derivada. Use \intertextpara escrever apartes e comentários explicativos. Eu também substituiria todas as instâncias \textprimepor '. (Suponho que você carregou o flexisympacote para acessar a \textprimemacro, certo?)

insira a descrição da imagem aqui

\documentclass{article}
%\usepackage[utf8]{inputenc} % that's the default nowadays
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[spanish]{babel}
\usepackage{amsthm,amssymb,amsmath}
%\usepackage{flexisym} % no longer needed

\begin{document}
\subsection*{Desarrollo}

\textit{\textbf{iii.} Encuentre los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión.}

\medskip
Calculemos $f''(x)$.

Teniamos anteriormente que la derivada era $f'(x)=\tan x \sec^2 x$.
\begin{align*}
    f''(x)&= \sec^2 (x) + [(1)(\sec ^2 x) + x(\sec^2 x)'\,]\\
          &= \sec^2 x+(\sec^2 x+2\sec^2 x \cdot \tan x)\\
          &= \sec^2 x+\sec^2 x+2\sec ^2 x \cdot \tan x\\
          &= 2\sec^2 x+2 \sec^2 x \tan x\\
\intertext{Podemos factorizar por $\sec^2 x$:}
    f''(x)&= 2\sec ^2 x (1+\tan x)\,.
\end{align*}
Entonces calculamos sus puntos criticos.

\end{document}

Responder2

 \documentclass{article}
 \usepackage[utf8]{inputenc}
 \textwidth=16cm
  \oddsidemargin=1cm
  \usepackage{blindtext}
  \title{Desarrolo}
  \date{\today}
  \author{Example}
  \begin{document}
  \maketitle

   \section{Introduction}
    \blindtext

    \subsection*{Desarrollo}
    \textit{
     \textbf{iii.} Encuentre los intervalos de concavidad y los puntos de  
     inflexión.
        }

    \vspace{1cm}

    \noindent
    \section*{Calculemos $f''(x)$}


        Teniamos anteriormente que la derivada era\medskip

    \hspace{2cm}{  f'(x)= $ tan\;x \cdot sec^{2}\left[x\right]$\medskip}

   \hspace{2cm}{\begin{tabular}{rl} 
     f'(x)  = & $sec^{2}(x) + \left[(1)\cdot(sec ^{2}x)\cdot + x\cdot(sec  
    ^2x)'\right]$  \\ 
    =& $sec^{2}{x}+(sec^{2}{x}+2sec ^{2}{x} \cdot tan {x})$\\
    =& $sec^{2}{x}+sec^{2}{x}+2 sec^{2}{x} \cdot tan {x}$\\
    = & $2 sec^{2}{x}+2\cdot sec^{2}{x}\cdot tan {x}$\\
    \end{tabular}\medskip }   

    Podemos factorizar por $\sec^{2}{x}$\\\medskip    

    {\hspace{2cm}{ f'(x) = =$ sec ^{2} x (2+2 tan x)$\medskip}

    Entonces calculamos sus puntos criticos\medskip

    \clearpage

    \end{document}

Isso é formulado com instruções simples de látex. Você pode modificar de acordo com suas necessidades,

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