Mostrando a sobreposição entre uma esfera e o volume dentro de um ângulo sólido com Tikz

Question

Quero descrever como uma integração na linha de visão de uma função de densidade 3D sobre um ângulo sólido significa usar o pacote pgf/Tikz. O problema é desenhar uma esfera e depois um ângulo sólido que se sobreponha a alguma parte da esfera. Infelizmente, não consegui encontrar as funções apropriadas no pacote Tikz para fazer este trabalho. Você poderia me ajudar respondendo às seguintes perguntas?

1. É possível fazer com que as linhas tracejadas pareçam estar atrás da esfera?
2. Também é possível tornar o volume dentro da esfera e dentro do ângulo sólido mais escuro do que outras regiões?
3. Existem truques melhores para usar o Tikz para fazer a visualização pretendida aqui?

Aqui estão os códigos usados ​​para gerar a imagem.

\documentclass[landscape]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{tikz}   
\usepackage{tikz-3dplot}

\begin{document}
%set the plot display orientation
%synatax: \tdplotsetdisplay{\theta_d}{\phi_d}
%\tdplotsetmaincoords{65}{110}
 
% Define variables and assign values to them.
\pgfmathsetmacro{\rvec}{0.9}
 
\begin{tikzpicture}[scale=3]
\shade[ball color = white] (1.8,1.5) circle (\rvec);

%Define a point.
\coordinate (O) at (0,0,0);

%draw the main coordinate system axes
\draw[thick,->] (O) -- (1,0,0) node[anchor=north east]{$x$};
\draw[thick,->] (O) -- (0,1,0) node[anchor=north west]{$y$};
\draw[thick,->] (O) -- (0,0,1) node[anchor=south]{$z$};

\tdplotsetcoord{P1}{4}{90}{25}
\tdplotsetcoord{P2}{4}{90}{30}
\tdplotsetcoord{P3}{4}{83}{25}
\tdplotsetcoord{P4}{4}{83}{30}

\draw [-stealth, very thin, dashed] (O) -- (P1);
\draw [-stealth, very thin, dashed] (O) -- (P2);
\draw [-stealth, very thin, dashed] (O) -- (P3);
\draw [-stealth, very thin, dashed] (O) -- (P4);

\draw [thin] (P1) arc (25:30:4);
\draw [thin] (P3) arc (25:30:4);
\draw [thin] (P1) -- (P3);
\draw [thin] (P2) -- (P4);
\end{tikzpicture}

\end{document}