Como desenhar um limite sombreado usando TikZ

Question

Como posso desenhar uma região sombreada simples como a mostrada abaixo usando TikZ?

A região sombreada delimitada pela equação

r1r2r3 - r1 - r2 - r3 + 2cos(theta)

e é r1=r2=r3=4. O limite mudará ligeiramente para diferentes valores de theta. Para efeito disso, podemos assumir theta=0.

A ideia aqui é usar o TikZ com certas funções e fillbetweencomandos, mas isso se torna complicado para gráficos 3D. Este exemplo poderia então ser usado para traçar limites mais envolventes

Quaisquer dicas/postagens relevantes seriam úteis!

EDITAR

Idealmente, eu gostaria de uma solução que usasse apenas TiKZ e não pstricks.

Answer 1

Acho que superfícies implícitas podem ser esboçadas em TikZ quando as curvas de nível (ou outras seções do hiperplano) podem ser desenhadas. Para a superfíciexyz - x - y - z + 2 = 0(na verdade, para qualquer valor detetana questão), as curvas de nível são hipérboles e não é difícil desenhá-las.

Alguns comentários

1. Alterei as coordenadas para ter o ponto singular na origem, ou seja, considerei a superfície definida porxyz + xy + yz + zx = 0. É apenas uma tradução do anterior.

2. Olhando para o exemplo que foi dado, representei apenas uma “folha” da superfície; explicitamente considerei a porção da superfície que vive no cubo[-1, 5]^3e que é varrido por apenas um ramo de cadaz=hhipérbole.

3. Paraz=0a hipérbole degenera na união de duas retas. Paraz=-1degenera novamente em duas linhas, mas uma delas está no infinito. Por estas razões, o desenho da curva de nível depende do sinal dez. No bairro de-1as coisas são mais sutis já que os limites do TikZ são facilmente alcançados. Por exemplo, se o primeiro \foreachfor realizado para \i=1ou \i=2, as curvas obtidas não são “reais” (ou pelo menos as pretendidas).

4. O código pode parecer longo, mas o que conta são os dois primeiros \foreachcomandos que desenham oz=hcurvas de nível. Depois, eles são apenas copiados e modificados para se obter ox=hes=hcurvas de nível.

5. Cada ramo de uma hipérbole é desenhado como uma curva parametrizada; os limites do parâmetro são calculados para obter apenas a parte dentro do cubo.

O código

\documentclass[margin=.5cm]{standalone}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{math}
\usepackage{tikz-3dplot}
\usetikzlibrary{3d}
\usetikzlibrary{arrows.meta}

\begin{document}

\xdefinecolor{Cy}{RGB}{17, 170, 187}
\xdefinecolor{VB}{RGB}{102, 25, 240}

\tikzmath{
  integer \N-, \N+;
  \N- = 12;
  \N+ = 50;
  real \a;
  \a = 5;
}
\tikzset{
  pics/level curve+/.style args={height=#1, varbound=#2, color=#3}{%
    code={%
      \draw[#3, variable=\t, domain=-#2:#2, samples=40]
      plot ({#1/(#1 +1)*(exp(\t) -1)}, {#1/(#1 +1)*(exp(-\t) -1)});
    }
  },
  pics/level curve-/.style args={height=#1, varbound=#2, color=#3}{%
    code={%
      \draw[#3, variable=\t, domain=-#2:#2, samples=40]
      plot ({-#1/(#1 +1)*(exp(\t) +1)}, {-#1/(#1 +1)*(exp(-\t) +1)});
    }
  }
}
\begin{tikzpicture}
  \tdplotsetmaincoords{76}{67}
  \begin{scope}[tdplot_main_coords]
    % axes first part
    \draw (-1, 0, 0) -- (\a +.2, 0, 0);
    \draw (0, -1, 0) -- (0, \a +.2, 0);
    \draw (0, 0, -1) -- (0, 0, \a +.2);
    
    %%% $z=h$ level curves
    % close to $0^-$
    \foreach \i
    [evaluate=\i as \h using {-(\N- +1 -\i)/(\N- +1))*\a/(\a +1)},
    evaluate=\i as \b using {ln(-(\h +1)*\a/\h -1)}]
    in {1, 2, 3, 4, ..., \N-}{
      \path[canvas is xy plane at z=\h, transform shape] (0, 0)
      pic {level curve-={height=\h, varbound=\b, color=Cy}};
    }    

    % $h=0$
    \draw[Cy, canvas is xy plane at z=0] (0, \a) |- (\a, 0);

    % $h>0$
    \foreach \i
    [evaluate=\i as \h using {(\i/\N+)*\a},
    evaluate=\i as \b using {ln((\h +1)*\a/\h +1)}]
    in {1, 2, ..., \N+}{
      \path[canvas is xy plane at z=\h, transform shape] (0, 0)
      pic {level curve+={height=\h, varbound=\b, color=Cy}};
    }

    %%% $y=h$ level curves
    % close to $0^-$
    \foreach \i
    [evaluate=\i as \h using {-(\N- +1 -\i)/(\N- +1))*\a/(\a +1)},
    evaluate=\i as \b using {ln(-(\h +1)*\a/\h -1)}]
    in {3, 4, ..., \N-}{
      \path[canvas is xz plane at y=\h, transform shape] (0, 0)
      pic {level curve-={height=\h, varbound=\b, color=Cy}};
    }    

    % $h=0$
    \draw[Cy, thin, canvas is xz plane at y=0] (0, \a) |- (\a, 0);
    
    % $h>0$
    \foreach \i
    [evaluate=\i as \h using {(\i/\N+)*\a},
    evaluate=\i as \b using {ln((\h +1)*\a/\h +1)}]
    in {1, 2, ..., \N+}{
      \path[canvas is xz plane at y=\h, transform shape] (0, 0)
      pic {level curve+={height=\h, varbound=\b, color=Cy}};
    }

    %%% $x=h$ level curves
    % close to $0^-$
    \foreach \i
    [evaluate=\i as \h using {-(\N- +1 -\i)/(\N- +1))*\a/(\a +1)},
    evaluate=\i as \b using {ln(-(\h +1)*\a/\h -1)}]
    in {3, 4, ..., \N-}{
      \path[canvas is yz plane at x=\h, transform shape] (0, 0)
      pic {level curve-={height=\h, varbound=\b, color=Cy}};
    }    

    % $h=0$
    \draw[VB, canvas is yz plane at x=0] (0, \a) |- (\a, 0);
    
    % $h>0$
    \foreach \i
    [evaluate=\i as \h using {(\i/\N+)*\a},
    evaluate=\i as \b using {ln((\h +1)*\a/\h +1)}]
    in {1, 2, ..., \N+}{
      \path[canvas is yz plane at x=\h, transform shape] (0, 0)
      pic {level curve+={height=\h, varbound=\b, color=VB}};
    }

    %%% axes second part
    \begin{scope}[arrows={->[length=1ex, width=1.5ex]}]
      \draw (\a, 0, 0) -- (\a +2, 0, 0)  node[pos=1.2] {$x$};
      \draw (0, \a, 0) -- (0, \a +2, 0)  node[pos=1.2] {$y$};
      \draw (0, 0, \a) -- (0, 0, \a +2)  node[pos=1.2] {$z$};          
    \end{scope}
  \end{scope}
\end{tikzpicture}

\end{document}