Desenho de rede de código tórico

Question

Estou escrevendo minha tese sobre o código tórico com o Overleaf, e para isso gostaria de desenhar:

1. uma figura da rede com um exemplo dos operadores plaqueta e vértice
2. uma figura da rede com um exemplo dos operadores de string
3. uma figura do toro com a grade desenhada na superfície do toro

Eu tenho feito algumas pesquisas e issoComo traçar uma rede de pontos na superfície de um toro?pergunta foi muito útil para a figura 3), mas não sei como alterar as setas na superfície para linhas para criar a grade. Copio o código e a diferença que gostaria de fazer:

\documentclass[twocolumn]{revtex4}
\usepackage[inline]{asymptote}
\begin{document}
\begin{figure}[h]
\centering
\begin{asy}[width=5cm,height=5cm]
size(200);
import graph3;

pen surfPen=rgb(1,0.7,0);
pen xarcPen=deepblue+0.7bp;
pen yarcPen=deepred+0.7bp;

currentprojection=perspective(5,4,4);

real R=2;
real a=1;

triple fs(pair t) {
  return ((R+a*Cos(t.y))*Cos(t.x),(R+a*Cos(t.y))*Sin(t.x),a*Sin(t.y));
}

surface s=surface(fs,(0,0),(360,360),8,8,Spline);
draw(s,surfPen,render(compression=Low,merge=true));

int m=20;
int n=10;
real arcFactor=0.85;

pair p,q;

for(int i=1;i<=n;++i){
  for(int j=0;j<m;++j){
    p=(j*360/m,(i%n)*360/n);
    q=(((j+arcFactor)%m)*360/m,i*360/n);
    draw(fs(p)..fs((p+q)/2)..fs(q),xarcPen,Arrow3(size=4));
    q=(j*360/m,((i%n)-arcFactor)*360/n);
    draw(fs(p)..fs((p+q)/2)..fs(q),yarcPen,Arrow3(size=3));
    dot(fs(p));
  }
}
\end{asy}
\end{figure}
\end{document}

Então, na verdade, eu só quero alterar "Arrow3" por algum comando que altere as setas para linhas.

Em relação às figuras 1) e 2), e para quem não está familiarizado com o código tórico, esta imagem do artigohttps://www.physics.rutgers.edu/grad/602/Lectures/JC_Presentations/0419/Intro_Toric_Code.pdfé um exemplo perfeito:

Portanto, uma figura como esta seria ótima (embora obviamente eu não queira copiá-la).

Não me importo se isso for feito com tikz, assíntota ou qualquer outro aplicativo que possa ser útil. Alguma ajuda ou documentação que possa ser útil? Muito obrigado.