Como criar iterações do tapete Sierpinski

Question 1

Aqui está uma macro que coloca nós brancos nos locais apropriados.

\sierpinski[options]{levels}

A opção que tenho em mente é scale=, mas rotate=também funcionará. Ou xscale=se você quiser retângulos que não sejam quadrados. Certifique-se de usar transform shape.

\documentclass{article}

\usepackage{tikz}

\newcommand{\sierpinski}[2][]{\tikz[#1]{
  \draw[fill=black] rectangle(1,1);
    \foreach \n[evaluate=\n as \m using \n-1, evaluate=\n as \s using 1/3^\n, evaluate=\m as \p using 3^\m] in {1,...,#2}{
      \foreach \k[evaluate=\k as \x using (2*\k-1)/2/3^\m] in {1,...,\p}{
        \foreach \j[evaluate=\j as \y using (2*\j-1)/2/3^\m] in {1,...,\p}{
          \node[fill=white, minimum size=\s cm, inner sep=0] at (\x,\y){};
}}}}}

\begin{document}

\tikz{\draw[fill=black] rectangle(1,1);}\quad\sierpinski{1}\quad\sierpinski{2}\quad\sierpinski{3}\quad\sierpinski{4}

\end{document}

Aqui está \sierpinski[scale=3, transform shape]{5}, que é tudo o que minha máquina pode suportar. É O(9ⁿ), então prepare-se para esperar.

Answer

Aqui está uma macro que coloca nós brancos nos locais apropriados.

\sierpinski[options]{levels}

A opção que tenho em mente é scale=, mas rotate=também funcionará. Ou xscale=se você quiser retângulos que não sejam quadrados. Certifique-se de usar transform shape.

\documentclass{article}

\usepackage{tikz}

\newcommand{\sierpinski}[2][]{\tikz[#1]{
  \draw[fill=black] rectangle(1,1);
    \foreach \n[evaluate=\n as \m using \n-1, evaluate=\n as \s using 1/3^\n, evaluate=\m as \p using 3^\m] in {1,...,#2}{
      \foreach \k[evaluate=\k as \x using (2*\k-1)/2/3^\m] in {1,...,\p}{
        \foreach \j[evaluate=\j as \y using (2*\j-1)/2/3^\m] in {1,...,\p}{
          \node[fill=white, minimum size=\s cm, inner sep=0] at (\x,\y){};
}}}}}

\begin{document}

\tikz{\draw[fill=black] rectangle(1,1);}\quad\sierpinski{1}\quad\sierpinski{2}\quad\sierpinski{3}\quad\sierpinski{4}

\end{document}

Aqui está \sierpinski[scale=3, transform shape]{5}, que é tudo o que minha máquina pode suportar. É O(9ⁿ), então prepare-se para esperar.

Question 2

com uma atualizaçãohttps://ctan.org/pkg/pst-fractale correndo lualatex:

\documentclass[pstricks]{standalone}
\usepackage{pst-fractal} 
\begin{document}    

\begin{pspicture}(18,3)
\multido{\iA=1+1,\iB=0+12}{6}{%
  \psSierCarpet[scale=0.25,n=\iA](\iB,0.2)}
\end{pspicture}

\end{document}

e com opção basecolor=red,linecolor=blue:

Answer

com uma atualizaçãohttps://ctan.org/pkg/pst-fractale correndo lualatex:

\documentclass[pstricks]{standalone}
\usepackage{pst-fractal} 
\begin{document}    

\begin{pspicture}(18,3)
\multido{\iA=1+1,\iB=0+12}{6}{%
  \psSierCarpet[scale=0.25,n=\iA](\iB,0.2)}
\end{pspicture}

\end{document}

e com opção basecolor=red,linecolor=blue:

Question 3

Você obteve a resposta tikz que procurava, então sinto-me à vontade para adicionar uma resposta feita com MetaPost/MetaFun. Provavelmente o código pode ser otimizado e provavelmente alguém pode fazer algo semelhante com o tikz (mas não posso). A primeira versão desenha um quadrado e dá voltas e desfaz as partes que deveriam ser brancas. O segundo usa recursão.

Em relação ao horário:

First version: 2.9s
Second version: 1.8s

Eu o envolvi em páginas MetaPost no ConTeXt lmtx. O arquivo pode ser compilado com context.

\starttext
\startMPpage[offset=1dk]
vardef sierpinski(expr w, n) =
image(
fill unitsquare scaled w ;
for i = 1 upto n :
    for j = 1 upto (3^(i-1)) :
        for k = 1 upto (3^(i-1)) :
            unfill unitsquare scaled (w/(3^i)) shifted ( (3*j-2)*w/(3^i), (3*k-2)*w/(3^i) ) ;
        endfor
    endfor
endfor)
enddef ;

for i = 1 upto 3 :
    draw sierpinski(3cm,i)   shifted (4*(i-1)*cm,  0  ) ;
    draw sierpinski(3cm,i+3) shifted (4*(i-1)*cm, -4cm) ;
endfor ;
\stopMPpage

\startMPpage[offset=1dk]
vardef Sierpinski(expr w,n) =
    save tmppic ;
    picture tmppic ;
    if n = 1 :
        image(
        fill unitsquare scaled w ;
        unfill unitsquare scaled (w/3) shifted (w/3,w/3) ;
        )
    else :
        tmppic := Sierpinski(w, n - 1) scaled 1/3 ;
        image(
        for i = 1 upto 3 :
            for j = 1 upto 3 :
                if ((i*j) <> 4) :
                    draw tmppic shifted (((i-1)/3)*w,((j-1)/3)*w) ;
                fi
            endfor
        endfor
        ) 
    fi
enddef ;

for i = 1 upto 3 :
    draw Sierpinski(3cm,i)   shifted (4*(i-1)*cm,  0  ) ;
    draw Sierpinski(3cm,i+3) shifted (4*(i-1)*cm, -4cm) ;
endfor ;
\stopMPpage
\stoptext

A saída parece a mesma em ambas as variantes (até onde posso ver), então mostro apenas uma delas.

Answer

Você obteve a resposta tikz que procurava, então sinto-me à vontade para adicionar uma resposta feita com MetaPost/MetaFun. Provavelmente o código pode ser otimizado e provavelmente alguém pode fazer algo semelhante com o tikz (mas não posso). A primeira versão desenha um quadrado e dá voltas e desfaz as partes que deveriam ser brancas. O segundo usa recursão.

Em relação ao horário:

First version: 2.9s
Second version: 1.8s

Eu o envolvi em páginas MetaPost no ConTeXt lmtx. O arquivo pode ser compilado com context.

\starttext
\startMPpage[offset=1dk]
vardef sierpinski(expr w, n) =
image(
fill unitsquare scaled w ;
for i = 1 upto n :
    for j = 1 upto (3^(i-1)) :
        for k = 1 upto (3^(i-1)) :
            unfill unitsquare scaled (w/(3^i)) shifted ( (3*j-2)*w/(3^i), (3*k-2)*w/(3^i) ) ;
        endfor
    endfor
endfor)
enddef ;

for i = 1 upto 3 :
    draw sierpinski(3cm,i)   shifted (4*(i-1)*cm,  0  ) ;
    draw sierpinski(3cm,i+3) shifted (4*(i-1)*cm, -4cm) ;
endfor ;
\stopMPpage

\startMPpage[offset=1dk]
vardef Sierpinski(expr w,n) =
    save tmppic ;
    picture tmppic ;
    if n = 1 :
        image(
        fill unitsquare scaled w ;
        unfill unitsquare scaled (w/3) shifted (w/3,w/3) ;
        )
    else :
        tmppic := Sierpinski(w, n - 1) scaled 1/3 ;
        image(
        for i = 1 upto 3 :
            for j = 1 upto 3 :
                if ((i*j) <> 4) :
                    draw tmppic shifted (((i-1)/3)*w,((j-1)/3)*w) ;
                fi
            endfor
        endfor
        ) 
    fi
enddef ;

for i = 1 upto 3 :
    draw Sierpinski(3cm,i)   shifted (4*(i-1)*cm,  0  ) ;
    draw Sierpinski(3cm,i+3) shifted (4*(i-1)*cm, -4cm) ;
endfor ;
\stopMPpage
\stoptext

A saída parece a mesma em ambas as variantes (até onde posso ver), então mostro apenas uma delas.

Question 4

Aqui está uma versão pura em LaTeX e recursão.

Obviamente, isso só funciona porque você está usando retângulos (que são facilmente colocados com a tabular).

Código

\documentclass{article}
\newcommand*\startCarpet[2][1em]{{%
  \renewcommand*\arraystretch{0}%
  \setlength\fboxsep{0pt}\setlength\fboxrule{#1}%
  \edef\BOX{\noexpand\fbox{%
    \noexpand\rule[-\the\dimexpr#1/2\relax]{0pt}{#1}\noexpand\rule{#1}{0pt}}}%
  \def\TAB##1{\tabular{@{}c@{}c@{}c@{}}##1&##1&##1\\##1&&##1\\##1&##1&##1\endtabular}%
  \def\level{#2}%
  \def\doCarpet{%
    \ifnum\level=0
      \def\next{\TAB{\BOX}}%
    \else
      \def\next{%
        \edef\level{\inteval{\level-1}}%
        \TAB{\doCarpet}}%
    \fi
    \next}
  \doCarpet}}
\begin{document}
\centering
\startCarpet{0}
\startCarpet[.3333em]{1}
\startCarpet[.1111em]{2}

\startCarpet[.117em]{3}
\end{document}

Saída

Answer

Aqui está uma versão pura em LaTeX e recursão.

Obviamente, isso só funciona porque você está usando retângulos (que são facilmente colocados com a tabular).

Código

\documentclass{article}
\newcommand*\startCarpet[2][1em]{{%
  \renewcommand*\arraystretch{0}%
  \setlength\fboxsep{0pt}\setlength\fboxrule{#1}%
  \edef\BOX{\noexpand\fbox{%
    \noexpand\rule[-\the\dimexpr#1/2\relax]{0pt}{#1}\noexpand\rule{#1}{0pt}}}%
  \def\TAB##1{\tabular{@{}c@{}c@{}c@{}}##1&##1&##1\\##1&&##1\\##1&##1&##1\endtabular}%
  \def\level{#2}%
  \def\doCarpet{%
    \ifnum\level=0
      \def\next{\TAB{\BOX}}%
    \else
      \def\next{%
        \edef\level{\inteval{\level-1}}%
        \TAB{\doCarpet}}%
    \fi
    \next}
  \doCarpet}}
\begin{document}
\centering
\startCarpet{0}
\startCarpet[.3333em]{1}
\startCarpet[.1111em]{2}

\startCarpet[.117em]{3}
\end{document}

Como criar iterações do tapete Sierpinski

Responder1

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Responder3

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Código

Saída

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