Desenhando um ramo de hipérbole com assíntotas em tikz

Question

Estou tentando desenhar um único ramo de hipérbole com tikz e encontrei neste fórum um script maravilhoso aqui neste post (@DouglasMencken):esta postagem

\documentclass[tikz, margin=10]{standalone}

\usepackage{bm}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{shapes.geometric} % for shape=ellipse
\usetikzlibrary{calc}

\begin{document}

\def\tikzscale{0.8}
\begin{tikzpicture}[scale=\tikzscale]

\tikzset{
    elli/.style args={#1:#2and#3}{
        draw,
        shape=ellipse,
        rotate=#1,
        minimum width=2*#2,
        minimum height=2*#3,
        outer sep=0pt,
    }
}

%
% #1 optional parameters for \draw
% #2 angle of rotation in degrees
% #3 offset of center as (pointx, pointy) or (name-o-coordinate)
% #4 length of plus (semi)axis, that is axis which hyperbola crosses
% #5 length of minus (semi)axis
% #6 how much of hyperbola to draw in degrees, with 90 you’d reach infinity
%
\newcommand\tikzhyperbola[6][thick]{%
    \draw [#1, rotate around={#2: (0, 0)}, shift=#3]
        plot [variable = \t, samples=1000, domain=-#6:#6] ({#4 / cos( \t )}, {#5 * tan( \t )});

}

\def\angle{90}
\def\bigaxis{1.5cm}
\def\smallaxis{1.5cm}

\coordinate (center) at (0, 0);

\node [scale=\tikzscale, elli=\angle:\bigaxis and \smallaxis, line width = 1.2pt, color=black, dotted] at (center) (e) {};

\draw [-{stealth}, line width = 1.2pt, color = orange] ([shift={(\angle:-12)}] e.center) -- ([shift={(\angle:12)}] e.center) node [above right] {$\bm{a}_1$};
\draw [-{stealth}, line width = 1.2pt, color = orange] ([shift={(90+\angle:-8)}] e.center) -- ([shift={(90+\angle:8)}] e.center) node [above left]  {$\bm{a}_2$};

\tikzhyperbola[line width = 1.2pt, color=blue!80!black]{\angle}{(center)}{\bigaxis}{\smallaxis}{77}

\pgfmathsetmacro\axisratio{\smallaxis / \bigaxis}

% asymptotes
\def\lengthofasymptote{15}
\draw [color=black!40, line width = 0.4pt, rotate around={\angle + atan( \axisratio ): (center)}]
    ($ (-\lengthofasymptote, 0) + (center) $) -- ++(2*\lengthofasymptote, 0) ;
\draw [color=black!40, line width = 0.4pt, rotate around={\angle - atan( \axisratio ): (center)}]
    ($ (-\lengthofasymptote, 0) + (center) $) -- ++(2*\lengthofasymptote, 0) ;


\end{tikzpicture}

\end{document}

No entanto, como você pode ver: estou interessado apenas em traçar a parte superior do gráfico, que é apenas um ramo: não entendo como obter isso, pois acabo com um eixo muito grande (não entendo o mecanismo de construção dos eixos a_1 e a_2). Por exemplo, se eu quiser apenas a parte superior da assíntota e colocar comprimentoassíntota = 0 como a primeira coordenada: toda a figura será deslocada para a direita.

Qualquer ajuda seria apreciada para entender este script a fim de obter o resultado desejado, pois parece muito elegante e limpo,

Obrigado.