tikz Traçando o logaritmo complexo

Question

Gostaria de traçar o logaritmo complexo (parte imaginária) que é definido da seguinte forma:

ln(z) = ln(r) + i * arg(z)

Isso deve pareceresse. No entanto, não tenho experiência com gráficos tikz tridimensionais/complexos e não conheço a notação para traçar essa função corretamente.

Answer 1

pgfplotsnão consegue lidar com coordenadas complexas imediatamente. No entanto, neste caso também não é realmente necessário, penso eu. Você deseja representar um mapeamento \mathds{C}\to\mathds{C}, o que não é possível com um gráfico 3D, mas seu resultado alvo parece ser um gráfico 3D. Para produzir algo desse tipo, você pode simplesmente usar suas próprias coordenadas

({x*cos(y)},{x*sin(y)},{ln(x)+y})

onde xestá o raio e yé a fase. Agora há um problema porque só temos 3 coordenadas à nossa disposição. Tendo utilizado dois para o domínio, precisamos de utilizar uma projeção. Não sei qual projeção você usa na imagem que usa, mas o seguinte parece chegar perto:

\documentclass[tikz,border=3mm]{standalone}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.16,width=10cm,height=14cm}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[trig format plots=rad,view={-50}{12},
    colormap={adopted}{rgb255(0cm)=(151,0,250);
    rgb255(1cm)=(219,0,70);rgb255(2cm)=(186,255,60)},
    z buffer=sort,zmin=-3.5*pi]
\addplot3 [surf,domain=0.001:4,domain y=-3*pi:3*pi,samples=25,samples y=109]
({x*cos(y)},{x*sin(y)},{ln(x)+y});
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{document}

Ou usando ângulos diferentes.

\documentclass[tikz,border=3mm]{standalone}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.16,width=10cm,height=14cm}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[trig format plots=rad,view={70}{20},
    colormap={adopted}{rgb255(0cm)=(151,0,250);
    rgb255(1cm)=(219,0,70);rgb255(2cm)=(186,255,60)},
    z buffer=sort,zmin=-3.5*pi]
\addplot3 [surf,domain=0.001:4,domain y=-3*pi:3*pi,samples=25,samples y=109]
({x*cos(y)},{x*sin(y)},{ln(x)+y});
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{document}

Se você quiser usar outra projeção, ela também pode ser incorporada.