Como posso saber o número máximo de conexões permitidas ao meu servidor Ubuntu?
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O valor máximo é dinâmico, dependendo de qual limitação do sistema você atingiu primeiro. Por exemplo, número máximo de arquivos abertos por processo, multiplicado pelo número de processos que cabem em ram+swap. Esse é apenas um limite possível.
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Do ponto de vista da rede, existem 2 ^ 16 ou 65.535 portas de soquete, nas quais 2 ^ 16 ou 65.535 clientes exclusivos podem se conectar. Então, isso significa que, se nada mais fosse uma limitação (hah), de uma perspectiva apenas TCP, você poderia ter até 2 ^ 32 ou 4294836225 conexões exclusivas.
Boa sorte com isso. :)
Sua pergunta talvez indique mais sobre como você lida com muitas conexões TCP em um host.
Isso é classicamente chamado de problema C10k. (Mais de 10.000 conexões costumavam ser uma boa marca d’água para quando as coisas desmoronavam.)
Aqui está um documento que explica como você pode ajudar a dimensionar uma caixa para milhares de conexões.
http://www.kegel.com/c10k.html
Está um pouco desatualizado, mas minha experiência é que a maioria dos aplicativos Linux usa epoll para ajudar a mitigar.
Saúde.