☰

Непоследовательное вертикальное размещение заголовков разделов

tag-icon • tag-icon spacing sectioning
Непоследовательное вертикальное размещение заголовков разделов

На прошлой неделе я прочитал короткую статью о LaTeX, а сейчас пишу свой первый документ. Я погуглил и исправил большинство проблем, но на эту я не нашел ни одного рабочего ответа. Это для математического задания, и я просто хочу написать много математики с несколькими комментариями \text{} в каждом решении, поэтому мой документ выглядит так:

\documentclass[11pt,twoside,a4paper,fleqn]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[swedish, english]{babel}
\usepackage{mathtools} 
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancy}
\usepackage[nodisplayskipstretch]{setspace}
\setstretch{1.5}
\lhead{Fredrik \qquad 2/5-2015}
\rhead{Inlämningsuppgift 2}
\setlength{\oddsidemargin}{15.5pt}
\setlength{\evensidemargin}{15.5pt}
\setlength{\headheight}{14pt}
\begin{document}
\section*{Uppgift 2.1}
\begin{equation*}
\begin{split}
& u(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} \\
& u_{1}=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \quad
u_{2}=\frac{2y}{2\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \\
& \nabla u(1,1)=\frac{1}{\sqrt{2}}i+\frac{1}{\sqrt{2}}j, \quad
|\nabla u|=\sqrt{\left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right) ^2 + \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=1 \\
& v(x,y)=x+y+2\sqrt{xy} \\
& v_{1}=1+\frac{2y}{2\sqrt{xy}}=1+\frac{y}{\sqrt{xy}}, \quad
v_{2}=1+\frac{2x}{2\sqrt{xy}}=1+\frac{x}{\sqrt{xy}} \\
& \nabla v(1,1)=2i+2j, \quad
|\nabla v|=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2} \\
& \text{Grader } \theta \text{ mellan \textbf{u} och \textbf{v}:} \\ 
& \theta = \arccos \frac{u\bullet v}{|u||v|} \\
& \theta = \arccos \left( \frac{\frac{2}{\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}}}{2\sqrt{2}} \right)=\arccos \left(\frac{4}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} \right)=\arccos(1)=0
\end{split} 
\end{equation*}

\section*{Uppgift 2.2}
\begin{equation*}
\begin{split}
& r=a+b, \quad |r|=\sqrt{a^2+b^2}, \quad \nabla r=ai+bj \\
& u=\sin \left( \sqrt{a^2+b^2} \right), \quad u_{1}=\frac{a \cdot \cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right) }{2\sqrt{a^2+b^2}}, \quad u_{2}=\frac{b \cdot \cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right) }{2\sqrt{a^2+b^2}} \\
& \nabla u=\frac{\cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right)}{\sqrt{a^2+b^2}}\left(ai+bj \right) \\
& \frac{ai+bj}{\sqrt{a^2+b^2}}\bullet \frac{\cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right)}{\sqrt{a^2+b^2}}(ai+bj)=\frac{\cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right)\cdot a^2}{a^2+b^2}+\frac{\cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right)\cdot b^2}{a^2+b^2}= \\
& \frac{\cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right)\cdot (a^2+b^2)}{a^2+b^2}= \cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right)=\cos (r)
\end{split}
\end{equation*}

\section*{Uppgift 2.3}
\begin{equation*}
\begin{split}
& z(x,y)=6x^2 y^3-6x^2-9y^2+1, \quad \nabla z=(12xy^3-12x, 18x^2 y^2-18y)\\
& \text{Letar efter nollställen}\\
& 12x(y^3-1)=0, \quad y=0, \quad x=0 \qquad \ \text{ger } (0,0)\\
& 18y(x^2y-1)=0, \quad y=0, \quad x=\pm 1 \quad \text{ger } (1,1) \text{ och } (-1,1)\\
& z_{xx}=12y^3-12, \quad z_{xy}=z_{yx}=36xy^2, \quad z_{yy}=36x^2y-8\\
& \mathcal{H}=
\begin{bmatrix}
z_{xx} & z_{xy}\\
z_{yx} & z_{yy}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
12y^3-12 & 36xy^2\\
36xy^2 & 36x^2 y-18
\end{bmatrix} \\
& (0,0): \mathcal{H} =
\begin{bmatrix}
-12 & 0\\
0 & -18
\end{bmatrix}
\quad det(\mathcal{H})=(-12)\cdot(-18)-0=126 \\
& \begin{rcases}
det(\mathcal{H}) & > 0\\
f_{xx} & < 0
\end{rcases}
\text{Maxpunkt} \\
& (1,1): \mathcal{H} =
\begin{bmatrix}
0 & 36\\
36 & 18
\end{bmatrix}
\quad det(\mathcal{H})=0-36 \cdot 36=-1296 
&&\quad det(\mathcal{H}) < 0 \\
& (-1,1): \mathcal{H} =
\begin{bmatrix}
0 & -36\\
-36 & 18
\end{bmatrix}
\quad det(\mathcal{H})=0-(-36) \cdot (-36)=-1296
&&\quad det(\mathcal{H}) < 0 
\end{split}
\end{equation*}

\section*{Uppgift 2.4}
\begin{equation*}
\begin{split}
& f(x,y)=2x+8y-x^2-4y^2-4, \quad \nabla f=(2-2x, 8-8y) \\
& (1,1): \quad
\begin{rcases}
f_{xx} & =-2 \\
det(\mathcal{H})& =16
\end{rcases}
\text{maxpunkt}
\end{split}
\end{equation*}

\section*{Uppgift 2.5}
\begin{equation*}
\begin{split}
& f(x,y)=\sqrt{2x^2+3y^2+4} \\
& 000\text{Första delen}000 \\
& f_1 = \frac{4x}{2\sqrt{2x^2+3y^2+4}}, \quad
f_2 = \frac{6y}{2\sqrt{2x^2+3y^2+4}}, \quad 
f_{12}=f_{21}=\frac{-2x6y}{\left( \sqrt{2x^2+3y^2+4} \right)^2} \\
\\
& f_{11} = \frac{2\sqrt{2x^2+3y^2+4}-\frac{2x\cdot 4x}{2\sqrt{2x^2+3y^2+4}}}{\left( 2\sqrt{2x^2+3y^2+4} \right)^2}, \quad
f_{22}= \frac{3\sqrt{2x^2+3y^2+4}-\frac{3y\cdot 6y}{2\sqrt{2x^2+3y^2+4}}}{\left( 2\sqrt{2x^2+3y^2+4} \right)^2} \\ \\
& \text{Kollar värden för derivatorna i punkten $(0,0)$} \\
& f_1=\frac{0}{2}=0, \quad f_2=\frac{0}{2}=0, \quad f_{12}=0, \quad 
f_{11}=\frac{2\cdot 2-0}{4}=1, \quad f_{22}=\frac{3\cdot 2-0}{4}=\frac{3}{2} \\
& P_2(x,y)= f(a,b)+f_1(a,b)(x-a)+f_2(a,b)(y-b)+\frac{1}{2} \left( f_{11}(x-a)^2+f_{22}(y-b)^2+2f_{12}(x-a)(y-b)\right) \\
\end{split}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{split}
& P_2(x,y)=2+0x+0y+\frac{1}{2}(x-0)^2+\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}(y-0)^2+\frac{1}{2}\cdot2\cdot0(x-0)(y-0)=2+\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{4}y^2 \\
& P_2(0,1;0,1)=2+\frac{1}{2}(0,1)^2+\frac{3}{4}(0,1)^2=2+\frac{1}{200}+\frac{3}{400}=\frac{805}{400}=2,0125 \\
& f(0,1;0,1)=\sqrt{2(0,1)^2+3(0,1)^2+4}=\sqrt{\frac{2}{100}+\frac{3}{100}+4}=\sqrt{\frac{405}{100}}=2,01246 \\
\end{split}
\end{equation*}

\section*{Uppgift 2.6}
\begin{equation*}
\begin{split}
& f(x,y)=2x+y, \quad g(x,y)=x^2+y^2-5=0 \\
& L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)=2x+y+\lambda (x^2+y^2-5) \\
& \frac{\partial L}{\partial x}=2+2x\lambda, \quad
\frac{\partial L}{\partial y}=1+2y\lambda, \quad
\frac{\partial L}{\partial \lambda}=x^2+y^2-5 \\
& \text{Söker efter nollställen genom att sätta derivatorna lika med 0} \\
& \begin{rcases} & \frac{\partial L}{\partial x}= 0=2(1+x\lambda) \Rightarrow \lambda=-\frac{1}{x}  \\
& \frac{\partial L}{\partial y}=0=1+2y\lambda \Rightarrow \lambda =-\frac{1}{2y} 
\end{rcases} \Rightarrow
-\frac{1}{x}=-\frac{1}{2y} \Rightarrow 2y=x \Rightarrow y=\frac{x}{2} \\
& \text{Sätter in resultatet i $\frac{\partial L}{\partial \lambda}=0$} \\
& 0=y^2+x^2-5 \Rightarrow \frac{x^2}{4}+x^2-5=0 \Rightarrow 0=5x^2-20 \Rightarrow 
4=x^2 \Rightarrow x=\pm 2 \\
& \text{Det ger} \\
& y=\frac{\pm2}{2}=\pm1 \text{ och } \lambda=\pm \frac{1}{2} \\
& \text{Ur det får vi punkterna $(2,1)$ och $(-2,-1)$ vilket ger} \\
& f(2,1)=4+1=5 \quad \text{och} \quad f(-2,-1)=-4-1=-5 \\
\end{split}
\end{equation*}

\end{document}

Это дает мне вывод, в котором интервалы над и под заголовками разделов различаются (они также имеют разный отступ, но это не так важно):

часть выходного файла pdf

решение1

Вот решение. Я немного упростил ваш код с помощью пакета geometryи улучшил форматирование десятичных чисел с помощьюsiunitx

\documentclass[11pt, twoside, a4paper, fleqn]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[swedish,english]{babel}%
\usepackage[showframe, nomarginpar, headheight=14pt, hmargin=30mm]{geometry}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancy}
\usepackage[nodisplayskipstretch]{setspace}
\setstretch{1.5}
\lhead{Fredrik \qquad 2/5-2015}
\rhead{Inlämningsuppgift 2}
\usepackage{siunitx}
\sisetup{input-decimal-markers={,},output-decimal-marker={,}}
\raggedbottom
\allowdisplaybreaks


\begin{document}

\section*{Uppgift 2.1}

\vskip-\abovedisplayskip
\begin{align*}
    & u(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} \\
    & u_{1}=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \quad
  u_{2}=\frac{2y}{2\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \\
    & \nabla u(1,1)=\frac{1}{\sqrt{2}}i+\frac{1}{\sqrt{2}}j, \quad
  |\nabla u|=\sqrt{\left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right) ^2 + \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=1 \\
    & v(x,y)=x+y+2\sqrt{xy} \\
    & v_{1}=1+\frac{2y}{2\sqrt{xy}}=1+\frac{y}{\sqrt{xy}}, \quad
  v_{2}=1+\frac{2x}{2\sqrt{xy}}=1+\frac{x}{\sqrt{xy}} \\
    & \nabla v(1,1)=2i+2j, \quad
  |\nabla v|=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2} \\
    & \text{Grader } \theta \text{ mellan \textbf{u} och \textbf{v}:} \\
    & \theta = \arccos \frac{u\bullet v}{|u||v|} \\
    & \theta = \arccos \left( \frac{\frac{2}{\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}}}{2\sqrt{2}} \right)=\arccos \left(\frac{4}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} \right)=\arccos(1)=0
\end{align*}

\section*{Uppgift 2.2}

\vskip-\abovedisplayskip
\begin{align*}
    & r=a+b, \quad |r|=\sqrt{a^2+b^2}, \quad \nabla r=ai+bj \\
    & u=\sin \left( \sqrt{a^2+b^2} \right), \quad u_{1}=\frac{a \cdot \cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right) }{2\sqrt{a^2+b^2}}, \quad u_{2}=\frac{b \cdot \cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right) }{2\sqrt{a^2+b^2}} \\
    & \nabla u=\frac{\cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right)}{\sqrt{a^2+b^2}}\left(ai+bj \right) \\
    & \frac{ai+bj}{\sqrt{a^2+b^2}}\bullet \frac{\cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right)}{\sqrt{a^2+b^2}}(ai+bj)=\frac{\cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right) \cdot a^2}{a^2+b^2}+\frac{\cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right) \cdot b^2}{a^2+b^2} \\
    & \qquad = \frac{\cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right) \cdot (a^2+b^2)}{a^2+b^2}= \cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right)=\cos (r)
\end{align*}

\section*{Uppgift 2.3}

\vskip-\abovedisplayskip
\begin{alignat*}{2}
  & z(x,y)=6x^2 y^3-6x^2-9y^2+1, \quad \nabla z=(12xy^3-12x, 18x^2 y^2-18y)\\
  & \text{Letar efter nollställen}\\
  & 12x(y^3-1)=0, \quad y=0, \quad x=0 \qquad \ \text{ger } (0,0)\\
  & 18y(x^2y-1)=0, \quad y=0, \quad x=\pm 1 \quad \text{ger } (1,1) \text{ och } (-1,1)\\
  & z_{xx}=12y^3-12, \quad z_{xy}=z_{yx}=36xy^2, \quad z_{yy}=36x^2y-8\\
  & \mathcal{H}=
  \begin{bmatrix}
  z_{xx} & z_{xy}\\
  z_{yx} & z_{yy}
  \end{bmatrix}
  =
  \begin{bmatrix}
  12y^3-12 & 36xy^2\\
  36xy^2 & 36x^2 y-18
  \end{bmatrix} \\
  & (0,0): \mathcal{H} =
  \begin{bmatrix}
  -12 & 0\\
  0 & -18
  \end{bmatrix}
  \quad \det(\mathcal{H})=(-12) \cdot (-18)-0=126 \\
  & \begin{rcases}
  \det(\mathcal{H}) & > 0\\
  f_{xx} & < 0
  \end{rcases}
  \text{Maxpunkt} \\
  & (1,1): \mathcal{H} =
  \begin{bmatrix}
  0 & 36\\
  36 & 18
  \end{bmatrix}
  \quad \det(\mathcal{H})=0-36 \cdot 36=-1296
    & & \det(\mathcal{H}) < 0 \\
  & (-1,1): \mathcal{H} =
  \begin{bmatrix}
  0 & -36\\
  -36 & 18
  \end{bmatrix}
  \quad \det(\mathcal{H})=0-(-36) \cdot (-36)=-1296
    & \enspace & \det(\mathcal{H}) < 0
\end{alignat*}

\section*{Uppgift 2.4}

\vskip-\abovedisplayskip
\begin{align*}
                    & f(x,y)=2x+8y-x^2-4y^2-4, \quad \nabla f=(2-2x, 8-8y) \\
                    & (1,1): \quad
  \begin{rcases}
  f_{xx} & =-2 \\
  \det(\mathcal{H}) & =16
  \end{rcases}
  \text{maxpunkt}
\end{align*}

\section*{Uppgift 2.5}

\vskip-\abovedisplayskip
\begin{align*}
  & f(x,y)=\sqrt{2x^2+3y^2+4} \\
  & 000\text{Första delen}000 \\
  & f_1 = \frac{4x}{2\sqrt{2x^2+3y^2+4}}, \quad f_2 = \frac{6y}{2\sqrt{2x^2+3y^2+4}}, \quad
  f_{12}=f_{21}=\frac{-2x6y}{\left( \sqrt{2x^2+3y^2+4} \right)^2} \\
  \\
  & f_{11} = \frac{2\sqrt{2x^2+3y^2+4}-\frac{2x \cdot 4x}{2\sqrt{2x^2+3y^2+4}}}{\left( 2\sqrt{2x^2+3y^2+4} \right)^2}, \quad
  f_{22}= \frac{3\sqrt{2x^2+3y^2+4}-\frac{3y \cdot 6y}{2\sqrt{2x^2+3y^2+4}}}{\left( 2\sqrt{2x^2+3y^2+4} \right)^2} \\ \\
  & \text{Kollar värden för derivatorna i punkten $(0,0)$} \\
  & f_1=\frac{0}{2}=0, \quad f_2=\frac{0}{2}=0, \quad f_{12}=0, \quad
  f_{11}=\frac{2 \cdot 2-0}{4}=1, \quad f_{22}=\frac{3 \cdot 2-0}{4}=\frac{3}{2} \\
    & \!\begin{aligned} P_2(x,y)= f(a,b) & +f_1(a,b)(x-a) +f_2(a,b)(y-b) \\
  & +\frac{1}{2} \left( f_{11}(x-a)^2+f_{22}(y-b)^2+2f_{12}(x-a)(y-b)\right)
  \end{aligned}\\[1ex]
    & \!\begin{aligned} P_2(x,y) & =2+0x+0y+\frac{1}{2}(x-0)^2+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}(y-0)^2+\frac{1}{2}\cdot2\cdot0(x-0)(y-0) \\
  & =2+\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{4}y^2 \end{aligned}\\
  & P_2(\num{0,1};\num{0,1})=2+\frac{1}{2}(\num{0,1})^2+\frac{3}{4}(\num{0,1})^2=2+\frac{1}{200}+\frac{3}{400}=\frac{805}{400}=\num{2,0125} \\
  & f(\num{0,1};\num{0,1})=\sqrt{2(0,1)^2+3(\num{0,1})^2+4}=\sqrt{\frac{2}{100}+\frac{3}{100}+4}=\sqrt{\frac{405}{100}}=\num{2,01246} \end{align*}

  \section*{Uppgift 2.6}%

  \vskip-\abovedisplayskip
  \begin{align*}
  & f(x,y)=2x+y, \quad g(x,y)=x^2+y^2-5=0 \\
  & L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)=2x+y+\lambda (x^2+y^2-5) \\
  & \frac{\partial L}{\partial x}=2+2x\lambda, \quad
  \frac{\partial L}{\partial y}=1+2y\lambda, \quad
  \frac{\partial L}{\partial \lambda}=x^2+y^2-5 \\
  & \text{Söker efter nollställen genom att sätta derivatorna lika med 0} \\
    & \begin{drcases} & \frac{\partial L}{\partial x}= 0=2(1+x\lambda) \Rightarrow \lambda=-\frac{1}{x} \\
  & \frac{\partial L}{\partial y}=0=1+2y\lambda \Rightarrow \lambda =-\frac{1}{2y}
  \end{drcases} \Rightarrow
  -\frac{1}{x}=-\frac{1}{2y} \Rightarrow 2y=x \Rightarrow y=\frac{x}{2} \\
  & \text{Sätter in resultatet i $\frac{\partial L}{\partial \lambda}=0$} \\
  & 0=y^2+x^2-5 \Rightarrow \frac{x^2}{4}+x^2-5=0 \Rightarrow 0=5x^2-20 \Rightarrow
  4=x^2 \Rightarrow x=\pm 2 \\
  & \text{Det ger} \\
  & y=\frac{\pm2}{2}=\pm1 \text{ och } \lambda=\pm \frac{1}{2} \\
  & \text{Ur det får vi punkterna $(2,1)$ och $(-2,-1)$ vilket ger} \\
  & f(2,1)=4+1=5 \quad \text{och} \quad f(-2,-1)=-4-1=-5
\end{align*}

\end{document}

введите описание изображения здесь

введите описание изображения здесь

введите описание изображения здесь

решение2

(К сожалению, я не могу предоставить полный пример, так как у меня возникли проблемы с кодировкой. Но поскольку оператор удовлетворен своим выводом, я приведу здесь основные детали.)

суб split-среда, каквсеподсреды всегда рассматриваются как неразрушимый ящик. Чтобы избавиться от этого ограничения,

  • заменить equation*на align*,
  • удалить \begin{split}и \end{split}, и
  • вставьте \allowdisplaybreaksв преамбулу.

поскольку вы начали каждую строку отображения с &, это позволит выровнять каждую строку по левому краю.

у вас все равно будет много проблем со строками, которые шире заявленной ширины текста. внимательно проверяйте, чтобы убедиться, что ничего не теряется, выходя за край бумаги.

Возможности разумного (и понятного) разрыва строк описаны в документации к amsmathи mathtools.

Связанный контент