Как нарисовать инверсию круга в TikZ?

Question

Инверсия точки P и центра O — это другая точка P' вдоль линии OP, такая, что произведение OP. OP' = k, то есть константа k. Инверсия окружности точкой O (не лежащей в окружности) — это другая окружность, как на рисунке ниже.

Можно ли нарисовать второй круг в TikZ как (правильную) инверсию первого? Я знаю, что легко делать переносы, вращения и другие линейные преобразования... но никогда не видел инверсии.

Answer 1

Пока вы ждете решения TikZ, вот простой способ сделать свою диаграмму вМетапост. Базовая геометрия хорошо объяснена.на Mathworld, (хотя диаграмма там показывает инверсию точкиснаружикруг инверсии; в данном случае роли Pи P'меняются местами, поскольку Pнаходится внутри круга инверсии).

Здесь я добавил контур части круга инверсии бледно-розового цвета, чтобы сделать более очевидным, как это работает. Конечно, вы можете удалить розовую дугу, если она не нужна.

prologues := 3;
outputtemplate := "%j%c.eps";

vardef invert_point(expr p, k) = 
  if abs(p)>0:
    unitvector p scaled (k/abs(p)) scaled k
  else:
    origin % strictly this should be a point at infinity
  fi
enddef;

vardef invert_path(expr P, k) = 
  for t=0 step 1/16 until length P-1/16:
     invert_point(point t of P, k) --
  endfor
  if cycle P:
     cycle
  else:
     invert_point(point infinity of P, k)
  fi
enddef;

beginfig(1);

path C, C'; 
pair P, P', Q; 

k = 150;
draw subpath (-1.4,1.4) of fullcircle scaled 2k withcolor .8[red,white];

C = fullcircle scaled 72 shifted 100 right;
P = point 1 of C;
C' = invert_path(C, k);
P' = invert_point(P, k);
Q = (origin -- P) intersectionpoint subpath (2,4) of C;

draw origin -- P';
draw origin -- center C' withcolor .5 white;
draw P'     -- center C' withcolor .5 white;
draw Q      -- center C  withcolor .5 white;

draw C; 
draw C' withcolor .78 blue; 

fill fullcircle scaled 3;
fill fullcircle scaled 3 shifted P;
fill fullcircle scaled 3 shifted Q;
fill fullcircle scaled 3 shifted P';
fill fullcircle scaled 3 shifted center C;
fill fullcircle scaled 3 shifted center C';

label(btex $O$  etex, origin + (-6,3));
label(btex $P$  etex, P      + (+3,7));
label(btex $P'$ etex, P'     + (-3,7));
label(btex $Q$  etex, Q      + (-3,7));
label(btex $C$  etex, point 5.5 of C + (-3,-7));

endfig;
end

Примечания

• Для простоты invert_pointпредположим, что центр окружности инверсии находится в начале координат. Но не составит труда адаптировать подпрограмму для принятия произвольной окружности вместо радиуса k.

• Опять же, для простоты я привел здесь две разные функции для a pathи для a, pointно вы можете легко написать одну invertфункцию и использовать if path Pи if pair Pдля выбора правильного действия в соответствии с тем, что вы ей передали.

• Выражение unitvector p scaled (k/abs(p)) scaled kможет быть более естественно записано как unitvector p scaled (k**2/abs(p)), но вы получите ошибку арифметического переполнения, если установите kзначение больше 181. Это потому, что 182**2это больше, чем 2**15наибольшее число, которое позволяет обычный MP. Чтобы избежать этого, либо закодируйте его так, как я показал, либо используйте mpost -numbersytem=doubleдля его обработки.

• Не используйте это для инвертирования точки в начале координат, поскольку вы не сможете легко представить бесконечность на конечной диаграмме.

Answer 2

Я рассчитал это в Tikz следующим образом.

Во-первых, есть две разные инверсии:

1. точка находится внутри круга инверсии;
2. суть находится вне его.

Я начну со второго случая. Я нарисую окружность с центром в точке «O» (называемой «k») и найду точку инверсии точки «P» вне окружности «k».

Первое, что вам нужно знать, это одна из точек касания от "P" к "k". Проекция этой точки на линию "OP" является точкой инверсии "P".

\documentclass{article}
\usepackage{tikz}
    \usetikzlibrary{calc}
    \usetikzlibrary{intersections}
    \begin{document}
    \begin{tikzpicture}
        \coordinate (O) at (0,0);
        \coordinate (P) at (5,0);
        \draw[red,thick,name path=circ1](O)circle(2);
        %
        % I look for the midpoint of O and P. This point will be the centre of
        % an arc whose intersection with k will give me the tangent points
        %
        \path(O)--coordinate[midway](M)(P);
        %
        % I draw the arc whose intersection with circle are the 2 tangent points
        %
        \path[name path=circ2] let
            \p1=(O),
            \p2=(M),
            \n1={veclen(\x2-\x1,\y2-\y1)} in
            ($(M)+({\n1*cos(130)},{\n1*sin(130)})$) arc (130:230:\n1);
        \path[name intersections={of=circ1 and circ2}]
            (intersection-1) coordinate (Tg1)
            (intersection-2) coordinate (Tg2);
        \draw[blue]
            (A)--(Tg1)
            (O)--node[midway,left,black]{$\mathtt{r}$}(B)
            (O)--(A);
        %
        % Here we are. This projection is the inversion of point P with regards
        % to circle k
        %
        \draw[orange](Tg1)--($(O)!(Tg1)!(P)$)coordinate(InvP);
        %
        \draw[black,line width=.75,fill=white]
            (P)circle(1.5pt)node[black,below]{$\mathtt{P}$};
        \draw[black,line width=.75,fill=white]
            (O)circle(1.5pt)node[black,below]{$\mathtt{O}$};
        \draw[black,line width=.75,fill=white]
            (Tg1)circle(1.5pt)node[black,below]{$\mathtt{Tg1}$};
        \draw[black,line width=.75,fill=white]
            (InvP)circle(1.5pt)node[black,below]{$\mathtt{P'}$};
        \node at (-1.75,0) {$\symtt{k}$};
    \end{tikzpicture}
\end{document}

Когда точка находится внутри окружности, все, что нам нужно сделать, это найти перпендикулярную прямую из OP, найти пересечение этой прямой с окружностью k (назовем ее TgP), провести касательную из этой точки и найти ее пересечение с OP.