Как написать свертку и преобразование Фурье

Question

Я хочу записать следующее уравнение в LaTeX:

\begin{equation}
x(t) \ast h(t) = y(t) 

X(f) H(f) = Y(f) 
\end{equation}

Я хочу \astобозначить свертку. Я знаю, что есть также команда \star. Имеет ли значение, какую из них я использую для представления свертки? Затем я хочу символ преобразования Фурье, я имею в виду линию с цветным и пустым кружком с каждой стороны, чтобы соединить x(t) и X(f), h(t) и H(f), y(t) и Y(f) соответственно. Есть ли способ сделать это?

Answer 1

Символ \circledastиз amssymbпакета обычно используется для обозначения процесса круговой свертки.

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\begin{document}

\begin{align*}
x(t) \circledast h(t) &= y(t) \\
X(f) H(f) &= Y(f) 
\end{align*}

\end{document}

Для линейной свертки *более подходящим является простой вариант:

\begin{align*}
x(t)*h(t) &= y(t) \\
X(f) H(f) &= Y(f) 
\end{align*}

Для построения связей между частями уравнений можно использовать пакет TikZ с его tikzmarkбиблиотекой, чтобы отмечать места начала и конца линий.

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,tikz}
\usetikzlibrary{arrows.meta,tikzmark}
\begin{document}

\begin{align*}
x\tikzmark{x}(t)*h\tikzmark{h}(t) &= y\tikzmark{y}(t) \\[2em]
X(f) \, H(f) &= Y(f) 
\end{align*}

\begin{tikzpicture}[overlay,remember picture, > = {Circle[open,blue]}]
  \draw [<->] ([yshift=-.7ex]pic cs:x) -- ++(0,-2.2em);
  \draw [<->] ([yshift=-.7ex]pic cs:h) -- ++(0,-2.2em);
  \draw [<->] ([yshift=-.7ex]pic cs:y) -- ++(0,-2.2em);
\end{tikzpicture}

\end{document}

Answer 2

Я просто хочу добавить, что есть более простой способ получить символ между парами преобразований Фурье с помощью пакета trfsigns.

\usepackage{trfsigns}
$g(x_1,x_2)* h(x_1,x_2)\laplace G(\omega_1,\omega_2)\cdot H(\omega_1,\omega_2)$